辽宁抚顺市四方高级中学 孟庆杰 (邮编：113122)

两类高考常考的双曲线

辽宁抚顺市四方高级中学 孟庆杰 (邮编：113122)

离心率为和的两类双曲线,在高考试题中频频出现.他们就像一对兄弟,一会儿独立出现,一会儿联手出现.其实他们既有亲密关系,又有独立性质.如果能弄清他们的关系与性质,则此类高考试题顺利解决.

高考;双曲线;离心率

1 两类双曲线的关系及性质

1.1 基本性质(以焦点在x轴上为例)

设双曲线的实半轴为a,虚半轴为b,半焦距为c,离心率为e.

(1)基本关系

(2)本身关系

①离心率为 5的双曲线,焦点到渐近线的距离d＝b＝2a;离心率为的双曲线,焦点到渐近线的距离d＝b＝a.

1.2 相似性质

(1)与中点有关的性质

①已知双曲线的中心为坐标原点,F是双曲线的一个焦点.则双曲线的离心率为 5的充要条件是在双曲线上存在点P,使PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点.

充分性 由题意及中点坐标公式,得P(－c,2b),将点P坐标代入方程,得e＝ 5.

必要性 连接FB并延长到点P,使FB＝BP,由中点坐标公式,得P(－c,2b).又e＝5,所以将P坐标代入方程,得所以点P在双曲线上.焦点在y时,同理可证结论成立.

说明 当F为右焦点时,还有一个符合条件的P2;当F为左焦点时,也有两个符合条件的P3和P1,如图1.

图1

②已知双曲线的中心为坐标原点O,F是双曲线的一个焦点,点A为虚轴上一点且 OA 等于虚轴长,则双曲线的离心率为的充要条件是延长AF交双曲线于P点,且AF＝FP.证明 由题意不妨设双曲线方程为＝1(a＞0,b＞0),F(c,0),虚轴上的点A(0,2b),如图2.

充分性 由题意及中点坐标公式,得P(2c,－2b),将点P坐标代……