甘肃 李守明

多角度欣赏一道高考模拟题

甘肃 李守明

在高考复习中，不可避免地要进行多次检测考试，怎样才能发挥每次检测试题的导向作用，助力学生走出“题海战术”，提高解题能力，这就需要我们从不同的角度剖析和欣赏数学试题，发现解题规律，找出应对策略，探寻试题根源，灵活适当变式.现以兰州市2017年3月高考诊断考试理科第20题第(2)问为例，从问题的思路及解法，溯本求源、同源变式等角度来欣赏它，仅供读者借鉴．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

1 问题的思路与解法

对于问题(Ⅱ)的思路与解法，笔者从以下四个方面阐述:

设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

即x1=x-2x2，y1=y-2y2，

所以x2+2y2-4(xx2+2yy2)+12=0，

即x2+2y2-4[(x1+2x2)x2+2(y1+2y2)y2]+12=0，

设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，

所以由椭圆的定义可知存在点F1，F2，

设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

又设直线OM的方程为y=kx(k≠0)，

所以x2+2y2=20，后续解法同解法1.

设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

=20+4(x1x2+2y1y2)，

设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，

因此x1x2+2y1y2=0，

所以x2+2y2=20，后续解法同解法1.

即sinαsinβ=-cosαcosβ，

所以x2+2y2=20，后续解法同解法1.

2 溯本求源

源头1：“我们把平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点”.这是人教版必修2-1对椭圆的定义，本检测试题表面上是判断F1，F2是否存在的问题，实际上是判断点P的轨迹方程是否为椭圆方程的意思.隐蔽的考查了椭圆的定义，也是该题的一个特点.

(Ⅰ)求该椭圆的方程；

显然，对重庆2011年高考理科试题20题的条件经过简单的改编，就得到了本次兰州市诊断考试的解析几何试题.在高三复习中，教师如能够引导学生抓住试题的特征、把握问题的本质，那么不管问题如何变化，学生都可以找到办法，所谓变中有变，抓住不变就是这个道理，从而达到“讲一题，通一类，得一法”的教学效果.

3 同源变式

在本文题目下的思路与解法3中，形式上如同把点P的坐标代入椭圆方程，最终得到了与x1x2+2y1y2有关的表达式，故只需使x1x2+2y1y2=0，则可以得到点P的轨迹方程，这是本文题目的一个重要特征，受这种特征和解法的启示，从而有了下面的变式：

变式2：改变曲线类型.

解：设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2),

=20+4(x1x2-2y1y2)，

设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，

因此x1x2-2y1y2=0，所以x2-2y2=20，

所以由双曲线的定义可知存在点F1，F2，

兰州新区舟曲中学)