安徽 杨续亮 苏岳祥

一道全国高考真题的变式探究与推广

安徽 杨续亮 苏岳祥

一、试题再现

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点．

二、试题规律分析

三、试题解法赏析

下面对本题的第二问作些探究：

证法一：直线方程的斜截式视角

设直线P2A和直线P2B的斜率分别为k1,k2且k1+k2=-1，

①当直线l的斜率不存在时，设l:x=t由题设知|t|lt;2且t≠0，A(t,yA),B(t,-yA)，

得t=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

②当直线l的斜率存在时，设l∶y=kx+m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，

=-1，

又m≠1,所以m=-2k-1，

此时Δ=-64k，存在klt;0使得Δgt;0成立．

所以直线l的方程为y=kx-2k-1，

当x=2时，y=-1，所以l过定点(2，-1)．

证法二：平移坐标系视角

因为直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，

所以2m-2n=1，平移后得直线经过定点(2，-2)，平移前的直线方程为m-2n=1,

所以平移前的直线经过点(2，-1).

【评注】这种解法，很好地体现了减元思想和整体思想，在设定直线l的方程也可以设为点斜式，两点式直接求解.

四、试题的变式探究

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，

在上式中以-k代k，可得

所以直线EF的斜率

【评注】直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数时，即k1+k2=0时，直线EF的斜率为定值.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)当r变化时，①求k1·k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

又a2-b2=c2，

对于直线AD:y=k2x+1，

于是k1,k2是方程(1-r2)k2-2k+1-r2=0的两实根，故k1·k2=1.

考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上.

直……