河北 刘立刚

分类讨论还是参变分离?
——浅议不等式恒成立问题的解法

河北 刘立刚

函数导数问题中不等式恒成立问题一直倍受命题人的青睐，也一直是学生学习的疑点和高考的热点.由于其中既含有参数又含有变量，能有效考查学生分析问题、解决问题的能力.

解决此类问题的常见方法一是不等式变形，使不等式一侧为具体常数(常常是实数0)，将另一侧构造为关于变量x的函数，把不等式恒成立问题转化成含参数的函数求最值，f(x)gt;0(f(x)lt;0)恒成立⟺[f(x)]mingt;0([f(x)]maxlt;0)，简称“函数法”；二是等价变形将变量x和参数a分别置于不等号两侧，f(x)gt;g(a)恒成立⟺g(a)lt;[f(x)]min(f(x)lt;g(a)恒成立⟺g(a)gt;[f(x)]max)，简称“参变分离法”.

两种方法都是转化为求函数最值，在解决过程中各有利弊：“函数法”通过分类讨论将函数求最值分为不同情况，把复杂问题简单化，但函数中含参数，导致导数符号的不确定性，大部分学生对于带参数的求导结果的讨论会知难而退；而“参变分离法”通过对字母的分离使恒成立问题转化为不含参数的给定函数的最值，避开了对含参因式的分辨以及主次变量的讨论，其弊端是分离后有可能使给定函数形式过于复杂，最值不易求.

同学们在解决此类问题时总有这样的纠结：到底用“函数法”分类讨论，还是用“参变分离法”化给定函数？尤其是做压轴题时，一旦所确定的方法不合适，不光耗时耗力，而且想重新改正时发现时间已来不及.那么涉及具体问题时，我们如何“因题制宜”的解决，下面笔者以……