江苏 魏美云

巧用投影模型，速解一类数量积问题

江苏 魏美云

平面向量知识在高中教材中占有重要地位，有关内容已经成为高考的重点和热点，特别是平面向量的数量积更是高考的必考内容．近年来有关数量积的试题具有一定的综合性，思维量大，解法也越来越灵活．解决数量积问题的常用方法有定义法、基向量法、坐标法等，而数量积的几何意义却常被遗忘．实际上，巧用几何意义能快速解决一类数量积问题．下面从数量积的定义入手，介绍与几何意义有关的三个结论及其应用，帮助学生丰富视野、开拓思路．

平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影．

平面向量数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与向量b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积(或者等于b的长度|b|与向量a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积)．

根据平面向量数量积的定义和几何意义，容易得到以下三个结论，下面介绍三个结论及其应用．

结论一：如果向量a，b在向量c方向上的投影相等，则a·c=b·c.

【证明】根据数量积的定义得

a·c=|a||c|cosα，b·c=|b||c|cosβ，其中α是a与c的夹角，β是b与c的夹角．

因为向量a，b在向量c方向上的投影相等，得|a|cosα=|b|cosβ，所以a·c=b·c．

【解析】如图，设边BC的中点为O，则PO⊥BC，

过O作OD⊥AC交AC于点D，

因为O是△ABC的垂心，

所以O，B，D三点共线，

【解析】如图，过点F作FG⊥AE于点G，

【提示】过点F作FG⊥AB于G，

利用结论一也能快速证明．

【证明】如图，取弦AB的中点M，连接OM，则OM⊥AB，

根据这个结论不难得到如下结论：

在△ABC中，O是△ABC的外心，

【解析】因为O是△ABC的外心，

即50=60xcos∠BAC+100y，

即5=6xcos∠BAC+10y，

江苏省沛县湖西中学)