苗 晴，赖承栋，谭彩娟



热传导PDE和Richardson-Lucy相结合的图像恢复方法

苗 晴，赖承栋，谭彩娟

(佛山科学技术学院数学与大数据学院，广东 佛山 528000)

针对模糊含噪图像的恢复问题，提出了一种新的图像恢复方法﹒该方法通过将热传导型偏微分方程(PDE)和Richardson-Lucy(R-L)算法相结合，先对模糊含噪的降质图像用热传导PDE的方法进行去噪，用来提高图像的信噪比；然后在噪声减弱的情况下用R-L迭代算法恢复图像﹒实验结果表明，与传统的R-L算法和均值滤波后R-L方法相比，本文方法能抑制振铃效应的传播及图像噪声的进一步放大，且在峰值信噪比(PSNR)数值上改进1~2 dB﹒

图像恢复；偏微分方程；Richardson-Lucy算法；振铃效应

图像恢复也称图像复原，是数字图像处理领域的主要分支之一﹒图像在成像过程中，会因光学系统的散焦、运动等因素的影响而导致图像模糊，又加上传感器等噪声的干扰从而造成图像的退化﹒图像的退化过程可以表示为原始图像和点扩散函数(PSF)的卷积模糊并加上噪声，图像恢复是通过对初始图像退化过程的分析，对模糊噪声图像进行建模，最后采取相反的过程以恢复出原始清晰图像[1-2]﹒

图像恢复的经典方法有维纳滤波、约束最小二乘正则化等线性复原方法﹒由于非线性迭代技术作为复原的工具，常常会获得比线性方法更好的结果，其中Richardson-Lucy(R-L)方法[3-6]是目前应用较广泛的非线性图像恢复方法之一﹒

R-L算法采用非线性迭代滤波方式，具有收敛性，能自动地满足图像的非负性约束和能量保持性质，是经典的图像恢复方法之一﹒但是R-L算法也存在两个重要缺陷：一是振铃效应，二是噪声放大问题[4]，当模糊图像中存在噪声时，随着迭代次数的增加，在恢复更多图像细节的同时，平滑区域的振铃也会增多，同时噪声在每次的迭代中会被放大，这会严重影响图像复原的效果﹒在实际应用中，为了更好地获得图像恢复质量，一般在使用R-L算法前须解决噪声放大的问题﹒

图像去噪是图像恢复过程中的重要部分，偏微分方程(PDE)图像去噪模型[7-12]因其以强大的数学理论为基础，近些年来在图像处理领域受到了广泛的关注，并已取得了显著的成果﹒它从分析图像去噪的机理入手，结合变分法、泛函分析、形态学等数学工具，建立了图像去噪和PDE相关的公理体系﹒PDE去噪的基本思想是在图像同质特征区域内扩散以减弱噪声，并在区域边界等位置不扩散以保持边缘特征﹒

本文根据图像的退化模型，提出了一种热传导PDE去噪与R-L迭代算法相结合的图像恢复方法﹒即基于热传导PDE方程的去噪模型，选取特定的二维差分形式用于数值计算并保持稳定性，对图像作镜面反射来处理图像的边界，在噪声减弱的情况下用R-L算法恢复图像，重现原始图像的重要信息﹒

1 图像的退化模型

2 图像恢复方法的设计

2.1 热传导PDE方法图像去噪

PDE是从运动的观点来处理图像的﹒在图像处理中，PDE形式有热传导方程、波动方程、Laplace方程及Poisson方程等[8-10]，其中热传导方程的去噪是源于以下的数学理论[8]﹒

本文差分运算选择以下格式：

2.2 Richardson-Lucy算法

2.3 热传导PDE方法与R-L算法结合

3 实验结果及分析

实验所处理的是256×256的lena图像和cameraman图像﹒为验证本文方法的有效性，实验中也对比了另外2种方法，一种是直接用传统的R-L方法恢复图像；另一种是先经过均值滤波去噪处理，然后用R-L方法复原﹒算法的复原性能用峰值信噪比(PSNR)/dB来衡量，PSNR定义为

图1 不同方法恢复lena图像的对比效果

图2 不同方法恢复cameraman图像的对比效果

表1 lena图像用不同方法恢复的PSNR数值 dB

表2 cameraman图像用不同方法恢复的PSNR数值 dB

4 结论

本文针对传统的R-L方法复原图像出现振铃及噪声放大等问题，提出了一种结合热传导PDE去噪与R-L算法对图像进行恢复处理的方法﹒首先运用热传导PDE去噪模型，选取特定二维差分形式用于数值计算并保持稳定性，对图像作镜面反射来处理图像边界，然后在噪声减弱的情况下用R-L算法恢复图像﹒结果表明，本文方法比传统的R-L算法在噪声处理上有较大改进，同时也减弱了复原图像的振铃效应，整体视觉效果有了明显改善，表明了本文方法的有效性及实用性﹒

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(责任编校：龚伦峰)

Image Restoration Based on Partial Differential Equation and Richardson-Lucy Algorithm

MIAO Qing, LAI Chengdong, TAN Caijuan

(School of Mathematics and Big Data, Foshan University, Foshan, Guangdong 528000, China)

A new image restoration method for the blurred noisy image is proposed. It combined heat conduction partial differential equation(PDE) method with Richardson-Lucy(R-L) algorithm. At first the heat conduction PDE method is used to remove the blurred image’s noise to improve the signal-to-noise ratio of the image, and then the R-L method is adopted when the noise is weakened. Compared with the original R-L algorithm and the combined method based on average filter and R-L algorithm, experiments showed that the proposed method could prevent propagation of ringing artifacts and further amplification of image noise, and the peak signal to noise ratio(PSNR) value of the restored image is improved 1~2 dB.

image restoration; partial differential equation; Richardson-Lucy algorithm; ringing artifacts

TP391.4

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.04.0012

1672–7304(2017)04–0056–04

2017-03-16

广东省高等教育学会实验室研究会项目(GDJ2016011)；广东省“攀登计划”专项资金(pdjh2017b0537)；广东省大学生创新创业训练项目(XJ2017092)；佛山市科技计划公共服务能力提升项目(2017)

苗晴(1982-)，女，河南遂平人，讲师，硕士，主要从事最优化信号处理、图像处理研究﹒E-mail: miaoqing598@163.com