文︳株洲市石峰区小学数学教研团队 潇湘数学教育工作室

“小数乘小数”教学研究报告

文︳株洲市石峰区小学数学教研团队 潇湘数学教育工作室

一、问题

“小数乘小数”是人教版教材五年级上册的内容，教学基础是四年级中因数的变化引起积变化的规律和五年级小数乘整数的知识。修订后的课标教材淡化了小数乘法意义的教学，把重点放在对算理的理解和对算法的总结上，引导学生利用因数的变化引起积的变化规律来解释小数乘法的算理，并由此总结小数乘法的一般方法。在教学实践中，我们产生了一些问题和困惑。

1.如何有效处理小数乘小数与小数乘整数的关系。相对于小数乘整数而言，小数乘小数在计算方法上更为抽象，算理更难理解。比如：积的小数点与因数的小数点位置需不需要对齐，小数乘小数得到的积有时候为什么比两个因数都小，等等。这是学生认知的难点，也是学生乘法学习中的一个破旧立新点。对此，教师在教学时该如何处理？

2.如何处理理解算理与掌握算法之间的关系。如果只是让学生掌握小数乘小数的计算方法，本节课将非常简单，只需告诉学生按整数乘法的方法进行计算，最后看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。想必有了小数乘整数的基础，学生顺利掌握没有多少难度。但如此一来，学生将只是一名机械计算工，虽能达到技能上的熟练，但对于为什么要这么做却知之甚少，不利于学生的发展。教师该如何帮助学生沟通算理，掌握算法呢？

3.计算教学除了发展学生的计算能力，还应该教给学生什么？现实教学中的计算往往定位在掌握计算方法，能够正确计算，提高计算能力上。这无可厚非，然而这种单一化的教学目标，使得学生望“算”生畏。我们认为，计算教学应该从关注学生的学习发展和需要出发，引领学生在具体的情境中经历过程，理解算理，明确算法，并从中归纳学习方法，提升思维能力，实现计算的再创造。

为了解决这些问题，我们在深入研读教材的基础上，形成了如下的思路：充分利用学生对小数乘整数的已有认知，引导合理迁移，帮助学生理解算理并掌握算法。同时及时打破学生的定式思维，引导学生进行合理质疑，为什么积会比其中的一个因数小；归纳小数乘整数与小数乘小数在计算上的共同点；在发现算法的时候，启发学生进行深层思考，为什么可以这样算，从而让学生在学习中感悟、反思。

二、实践

按照以上思路，我们进行了如下实践。

（一）情境导入

师：同学们，老师家要装修房子了，这是房子的部分平面图（如图所示）。想知道每个房间的面积是多少，你可以帮忙列出算式吗？

学生说算式，教师板书：

入户花园的面积：4×0.8；阳台的面积：10.3×0.6；书房的面积：3×3；卧室的面积：5.13×3.2；客厅的面积：10.3×4。

师：同学们真棒！仔细观察这些算式，你能把它们分分类吗？

生1：我分成可以口算的和需要笔算的两类。4×0.8、3×3 是可以口算的，10.3×0.6、5.13×3.2、10.3×4是需要笔算的。

生2：我分成三类，第一类是整数乘整数，第二类是小数乘整数，第三类是小数乘小数。

师：标准不同，分类的结果也不同。那哪些算式你能计算？请试一试。（学生口算4×0.8、3×3，然后上台板演其他题的竖式）

师（指着10.3×4的竖式）：小数乘整数列竖式时，为什么末尾对齐？

生3：因为先把10.3看成103，也就是看成整数计算，所以是末尾对齐。

师：说得很好。（指着 10.3×0.6、5.13×3.2的竖式）看来大家计算这两道题有困难，这节课我们一起研究小数乘小数的计算。（板书）

设计意图：利用具体情境促使学生产生计算的现实需求。接着放手让学生尝试计算，暴露学生的思维过程，为接下来的教学找到最佳切入口。

（二）引导探究

1.尝试计算，引导推理

师：根据算式10.3×0.6，你能估计一下阳台的面积大约是多少平方米吗？

生4：我将 10.3 看成 10，10×0.6=6，10.3×0.6的结果比6大。

生5：我将 10.3 看成 11，11×0.6=6.6，10.3×0.6的结果比6.6小。

师：通过刚才的估计，我们知道10.3×0.6的积应该大于6而小于6.6。根据我们以往的计算经验，请同学们大胆猜测一下：10.3×0.6可以怎样算？

学生尝试计算，教师巡视，选择具有代表性的方法进行展示。

方法1

方法2

方法3

方法4

方法5

师：仔细观察这几位同学的方法，你跟谁的做法相同？这几种方法有什么相同的地方？有什么不同的地方？

学生观察发现前三种都是横式计算，后两种都是竖式计算。教师引导学生汇报：比较前面三种方法，你有什么发现？

生6：这三种方法都是将因数转化为整数计算的。但是方法1是把长和宽分别看成103分米和6分米，算出面积是618平方分米，再化成平方米作单位；方法2是把两个因数都化成了整数再计算，方法3则只把其中的一个因数化成整数再计算。

生7：这三种方法的答案都一样，都是6.18。

师：那比较后面的两个竖式，你又有什么发现？

生8：方法4的竖式中小数点没有对齐，方法5的竖式中小数点对齐了。这两种方法肯定只有一种是对的！

师：那究竟谁的对呢？

生9：我认为结果应该是两位小数，因为刚才我们估算了10.3×0.6的积应该大于6而小于6.6，所以正确的答案是6.18。

生10：前面三种方法的结果都是6.18，而且这三种方法都有道理，我也同意方法4的答案。

师：10.3×0.6明明是一位小数乘一位小数，它们的积为什么是两位小数？（学生先在小组里交流，再派代表汇报）

生11：我们组是这样想的，第一个因数扩大了10倍，第二个因数也扩大了10倍，要使积不变，就必须缩小到它的百分之一，所以积是两位小数。

生12：因为我们把两个小数都看成整数，它们各扩大了10倍，所以乘得的积要除以100才是正确的。

师：我想请小老师帮老师完成完整的计算过程。谁愿意来？

生13上台边板演边介绍计算方法：先把10.3乘 10，就是 103，再把 0.6 乘 10，就是 6；103 乘 6等于618，618是扩大了10个10倍，要求原来的积，就要缩小到它的百分之一，也就是把小数点往左移动两位，结果等于6.18。

师：接下来，到了小老师解疑时间。大家还有什么问题或者要补充的吗？

生14：积为什么要缩小到它的百分之一呢？

生13：（指着算式）两个因数都扩大了10倍，10×10=100，所以积要缩小到它的百分之一。你弄懂了吗？（生14点头）

生15：为什么小数加减法的数位要对齐，而小数乘小数却是末尾对齐呢？

生13：因为加减法是相同的数位相加减，所以要对齐，而小数乘小数是看成整数乘整数来计算的，先不看小数点，所以不用对齐。

生16：为什么结果会越乘越小呢？

生13（为难，思考后）：有谁能回答这个问题吗？

生17：因为 10.3×1=10.3，但 0.6 比 1 小，10.3×10.3小。（同学们自发鼓掌）

生13：谢谢你。我明白了。

师：同学们提出的问题非常好，只有认真思考了才能提出好问题。其实不管用哪种方法做，都是把小数转化成整数进行计算。看来问题的关键是积到底是几位小数。

设计意图：学生自主探索、合作交流，教师适当点拨，学生逐步理解小数乘小数的算理，并对计算中的注意点有了清晰的认识。

2.独立推理，实现转化

师：刚才我们求出了阳台的面积，那卧室的面积你会计算吗？请用自己的方法算一算。

学生独立计算5.13×3.2，教师巡视。

师：老师这里有几种做法（如下所示），你认为哪些方法是正确的？其他的方法有哪些地方不合理？为什么？

生18：第一种方法是对的。第二种方法的答案错误。看第一种方法就很明白，这两个因数共扩大了1000倍，所以积的小数点应该往左移三位，积是三位小数。而他把小数乘法当成了小数加法，让小数点对齐，这不符合积的变化规律，使得积的小数点位置错了，所以是不对的。第三种方法的错误是把算式直接写成整数乘整数。

师：那么做小数乘法时要注意什么？

生19：我认为要注意，一是列竖式时末尾对齐；二是要抄原题，不能直接写成整数乘整数；三是计算完后要记得点上小数点，先看清两个因数共扩大了几倍，再将积缩小到它的几分之一。

设计意图：学生通过展示、比较、交流，深化对算理的理解，对小数乘小数的书写格式有了正确的认识。

3.专项对比，概括方法

师：回顾10.3×0.6和5.13×3.2的计算过程，思考以下问题：积的小数位数与因数的小数位数有什么关系？小数乘小数应该怎么计算？

学生先独立思考，再在小组内交流，然后分组汇报。

生20：我们组发现，小数乘小数时，两个因数共有几位小数，积就有几位小数。

生21：我们组也发现了这个规律。比如，0.2×0.6=0.12。两个因数的小数点一共往右移动了两位，积的小数点就往左移动两位。

师：在做题中发现规律并概括出来是学习数学的好方法。那谁能够概括小数乘小数的计算方法？

生22：先把小数乘法转化为整数乘法，按照整数乘法的方法进行计算；再数一数两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

设计意图：再次安排小组讨论和交流，让学生在合作交流中互相碰撞，随后归纳概括出小数乘小数的计算方法也就水到渠成了。

（三）精练活用

1.你能给下面各题的积点上小数点吗？

学生先独立完成，再交流。

师：积是多少？你是怎么想的？（生答略）

师：7.29×0.04，小数点点在哪？怎么处理？

生23：积是四位小数，所以小数点点在2916的前面，整数部分添0表示。

2.巧算显身手

0.8 ×0.4 0.25×3.2 0.56×0.04

学生先独立完成，再订正答案，然后交流。

师：0.56×0.04的积是多少？你是怎么算的？

生24：0.56×0.04的积是0.0224。但 56×4=224，积只有三位，数位不够，所以要在前面添0补足四位再点上小数点。

师：其余两题有没有用不同方法解决的？

生25：0.8×0.4可以直接口算；0.25×3.2可以用简便方法计算，0.25×3.2=0.25×4×0.8=0.8。

3.头脑体操：试一试，你有多少种填法？

（ ）×（ ）=0.24

学生先独立思考完成，然后全班交流。

师：你是怎样想的？发现了什么规律？

生26：我是先填上24的两个因数，再考虑积是两位小数，所以两个因数一共就是两位小数。填好一个算式后，再调整因数小数点的位置，就可以想出多种填法。如 0.6×0.4=0.24、0.06×4=0.24、6×0.04=0.24。

生27：我发现这和小数乘法计算一样，先看成整数，填好两个因数，再根据积的小数位数确定因数小数点的位置。

设计意图：这一组练习从易到难，从顺向思考到逆向思考，循序渐进，既重视学生知识的巩固，又重视学生思维能力的培育。

（四）总结提升（略）

三、讨论

1.收获

小数乘法和整数乘法从整体上看是一个系统。不同的是，小数乘小数中积的小数点的定位稍显复杂。基于这样的认识，我们在实践中重视对算理的理解和对转化思想的感悟。学生在多次的交流和辨析中加深对算理的理解，很好地突破了积的小数点定位这一认知难点。这样的认知方式和学习体验同样可以迁移到随后的小数除法的学习中去，实现学习方法的结构化。

尤其值得一提的是“小老师”的出场，是本课的精彩之处。“小老师”既对例题进行了完整的讲解和分析，又敢于接受同学们的质疑和挑战，这不仅是对“小老师”个人表达能力和思维能力的培养，更是让其他学生乐学、易学，培养他们提出问题的能力和敢于质疑的精神。

2.思考

新课改的今天，计算教学除了关注计算技能的掌握之外，更应该关注学生的学习过程，让学生在自身的实践探索中发展思维能力，培养良好的学习品质。

我们时常在思考一个问题，现在的学生怎么不爱思考了呢？原因除了有学生方面的，我们教师应该也有责任：低估学生的能力，代替他们说出他们需要的思考，只选择个别能够配合教学发展的思考，为了完成教学任务而限制思考的时间等。结合这次研究来看，给足学生思考、探究的空间，学生将会还你一个精彩课堂！小数乘小数的教学，在解决了算理、算法的前提下，如何提高计算的正确率和速度等还有待我们继续研究。【本文系湖南省教育科学“十二五”规划2014年度立项课题（编号：XJK014CZXX086）研究成果】

（执笔：吴利军、徐志敏、陶冶、徐旺、李闯）