文︳潘小明

数学解题反思：层次性及其案例（下）

文︳潘小明

3.解题反思的技术性层次

数学解题的反思不能停留于常识性、知识性的反思，特别是不能停留于只追求或者只满足于当下问题答案的获得。从解题技术层面来说，解题过程中的演算是否严密，解法是否简洁，结论是否科学合理，方法或结论能否推广等，都是值得思考的问题。数学解题反思作为一种“反向思考”“重新思考”“回顾总结”的思维方式，尤其要注意引导学生对如下解题技术的关注：

一是对查错、纠错技术处理的关注。在此关注中，学生通过查找并纠正解题过程和结果的错误实现解题过程和结果的完善。

二是对解法优化技术处理的关注。在此关注中，学生反思除了当下的解法，还有没有其他的解法，并且比较不同解法的优劣。

三是对问题变式技术处理的关注。在此关注中，学生通过引申、推广或改编所求解的问题实现举一反三的解题目的。

整理得4x2+4=0，该方程在实数范围内无解，所以原分式方程在实数范围内无解。

学生家长看到了学生的解答结果，说：“你说没有解，可我将x=0代入原方程两边，等式是成立的呀！你能不能再研究一下，看看方程究竟有没有解？”

因找到了，学生作了进一步的反思，利用合分比定理对分式方程进行变形，什么情况下可以保持同解？什么情况下又会不同解呢？

学生在解答课外题目的过程中，经由家长提醒和个人的自主反思，发现了错误。在老师的帮助下，学生获得关于分式方程利用合分比定理求解时两类方程解的一般性关系，认识到用合分比定理解分式方程时虽然可能简便些，但也容易产生增根或失根的问题，需要自觉地注意。

在上述解题过程中，学生面对一道已知条件求值的问题，基于不同的分析角度，获得了不同的解题方法，拓宽了解题的思维。学生在反思当下解法，发散思考其他解法的同时，也逐步形成了不同解法进行比较求优的意识。

案例6 一位女学生对一道数学题的自我探究。

案例描述与分析 一位被同学称为学霸的女学生做下面的题：

顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是什么图形？你能证明吗？

通过自己的探索，这位女学生明确地得到了答案：所得的四边形是平行四边形，并给出自己的证明。但她没有就此结束自己的探索，而是进一步思考：如果顺次连接各边中点，中点所在的四边形不是任意的四边形，而是特殊的四边形。那么，由所连接中点构成的四边形又是怎样的图形呢？我能不能先画一画图，然后猜一猜，再证一证呢？

基于这样的反思，她得到了如下几个有待探究的变式题：

（1）顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是什么图形？试证明自己的猜想；

（2）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是什么图形？试证明自己的猜想；

（3）顺次连接菱形各边中点所得的四边形是什么图形？试证明自己的猜想；

（4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是什么图形？试证明自己的猜想；

（5）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是什么图形？试证明自己的猜想。

由该案例可以看出，学生通过做题，然后进行一题多变式的解题反思，不仅加深了对原有探索问题数学特征的认识，而且在探索“自己的问题”过程中进一步掌握了与四边形有关的数学概念，强化了各类特殊四边形的性质与判定定理，以及与此相关的诸如三角形中位线定理等数学命题的理解与运用，并基于数学变式更好地揭示了不同知识点之间的内在联系，提高了数学探究思维能力。

4.解题反思的思想性层次

学生的数学思想要以学生在解题中的数学反思为中介。较之于常识性、知识性和技术性层次的解题反思，思想性层次的解题反思反映了学生在解题过程中对数学思想方法的感悟，体现了学生对特定数学问题精髓的把握，暴露了学生在相对较深层次的数学解题思维。

案例描述与分析 一位女学生通过解一元二次方程求出x的两个根，然后分别代入式子，费了好大精力求出了给定代数式的值。在这一过程中，她“自我感觉不怎么好”，于是继续进行思考。她在作业的后记中写道：“题目是算出来了，可怎么这么繁呀！于是我想，这道题有没有简便的方法呢？能不能不求出x的具体值来解这道题？后来我觉得自己好像可以对已知的方程进行一些变换，运用整体代入化简的方法来试试。”她边想边试，最终得到自认为满意的解法：

解题反思不仅是学生对解题经验的分析，也是对解题过程的监控和评价，还是在分析、监控和评价基础上对自我解题的过程与结果所进行的一种批判性思考。在本案例中，女学生因对一种相对较繁解法不满而主动寻求优化的解法，并因此产生了对解题思想方法的初步反思。她在尝试中找到了将已知的方程看成一个整体，然后进行必要的变换、代入，本质上是整体思想在解题中的具体运用。这种思想由于把解题的注意力和着眼点放到了已知条件和待求值问题的整体性结构上，有利于从整体上把握问题的求解，使问题解答的过程得以优化。

案例8 已知等腰梯形ABCD的上底边AD为3cm，下底边BC为7cm，对角线AC与BD相互垂直，试求该等腰梯形的面积。

案例描述与分析 一位平时成绩中等的学生拿到题目，首先想到的方法是利用梯形面积公式来解。由于上底边与下底边的和可轻易求得，所以将解题的关键放到了求该梯形的高上。对此，他先画出了示意图（如图1）。由于图上没有现成的高，于是从A点作出底边的高线。不过，他怎么也找不到求出这条高线长度的方法。他想：“怎么弄？梯形的高在哪？直接画、直接算，弄不出来呀！要不要重新找个方法？老师以前说过，解与梯形有关的题目时可以考虑将梯形转化为三角形、平行四边形或其他一些特殊图形。这道题要不要这样弄呢？怎么弄？好像可以画一条辅助线！嗯，找到了！”他通过点D作对角线AC的平行线，交下底BC的延长线于E（如图2），将求原等腰梯形ABCD的面积转化成求一个斜边长10cm的等腰直角三角形DBE的面积，很快求得了答案。

图1

图2

学生最初是想求出等腰梯形的高，然后利用梯形面积公式求解，然而他发现直接算，算不出来。基于这样的困境，他进一步反思，在此过程中，他想到了老师的话，激活了个人数学解题的经验，通过比照以前的数学解题经验产生了相似性“想题”“做题”的行动。在此过程中，他的反思思维将解题目标定位于将难以直接求解的数学问题转化为容易求解的数学问题，在本质上体现了“转化”这一重要数学思想方法的运用。由此可见，学生在数学思想方法层面的反思不仅有利于其整合、优化自己的解题思维，也有利于实现解题思路的突破或解题方法的创新。【本文系基金项目：泰州学院教授博士基金项目“数学教师实践性知识研究”（TZXYJB/201502）阶段性成果之一】

（作者单位：江苏省泰州学院数理学院）

[1]Van Manen，M.1977.Linking ways of knowing with ways of being practical[J].Curriculum Inquiry，（6）：205-228.

[2]Zeichner，K.M.amp;D.P.Liston 1987.Teaching students to reflec[J].Harvard Educational Review，（57）：23-483.

[3]申继亮，刘加霞.论教师的教学反思[J].华东师范大学学报（教育科学版），2004（9）：46-47.

[4]约翰·杜威.我们怎样思维·经验与教育[M].姜文闵译.北京：人民教育出版社，1991.