■江苏省高港中等专业学校 杨美琴

分类解析导数知识中的易错点

■江苏省高港中等专业学校 杨美琴

导数是研究函数性质的有力工具,特别是在求曲线的切线方程、研究函数的单调性与极(最)值等问题中,凸显导数卓越的解题功效,因此,与导数有关的高考试题备受青睐。由于同学们对导数的有关概念理解不透彻,辨析不清楚,致使解题过程中易出现一些错解。本文对导数知识的易错点归类剖析,给出警示,希望能助同学们一臂之力。

易错点1——忽略导数定义中的整体增量

易错点2——混淆过曲线某点的切线与在某点处的切线

例2 求过点A2,8( ),且与曲线f x()=x3相切的直线方程。

错解:f'x()=3x2,所以f'2()=1 2,则切线方程为y-8=1 2x-2( ),所以y=1 2x-1 6。

剖析:错解混淆了“过某点”与“在某点”处的切线的概念,因此应考虑A2,8( )为切点和不是切点两种情况。

(1)当A2,8( )为切点时,由错解可得到切线方程为y=1 2x-1 6。

综上所述,所求切线方程为y=1 2x-1 6或y=3x+2。

警示:(1)曲线的切线不一定和曲线只有一个交点。(2)“在”某一点的切线和“过”某一点的切线是两个不同的概念。(3)在某一点的切线若有则只有一条,而过某一点的切线往往不只是一条。(4)用导数求切线的斜率时,必须要设出切点,采取“待定切点法”求解。如本题当A不是切点时,设切点为切线斜率为k,三个未知量需用三个条件求解:①y0=f (x0),②k=f'(x0),解得切点坐标,得到其切线方程。

易错点3——混淆“导函数值正负”与“原函数图像升降”的关系

例3 已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图1所示,则y=f(x)的图像最有可能是图2中的____。

图1

错解:选A,B,D。……