■陕西洋县中学 刘大鸣(特级教师)

函数知识中的误区警示

■陕西洋县中学 刘大鸣(特级教师)

本文汇集了函数的概念及性质 、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、函数与方程等知识中的易错题,剖析了出错的原因,给出了警示和易错点,希望能引起同学们的高度重视。

一、函数概念和性质应用中的误区警示

误区1——判断函数奇偶性时忽略定义域

从而可知函数f(x)为非奇非偶函数。

剖析:错解中只注意了f(-x)=±f(x)的探究,忽略了函数定义域的研究,由题意知自变量x满足即函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),定义域关于原点对称,在定义域下化简f(x)=易证f(-x)=-f(x),即函数为奇函数。

警示:与函数有关的问题必须遵循“定义域优先”的原则,研究函数的奇偶性,先求函数的定义域,在定义域关于原点对称的前提下,实施数学式子f(-x)=±f(x)的变形进行探究。

跟踪训练1 函数f(x)=l g(x+1)+l g(x-1)的奇偶性是( )。

A.奇函数 B.偶函数

C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数

易错点:忽略函数的定义域。

误区2——研究分式类函数的单调性时缺少分类意识例2 函数f(x)=x在(2,+∞)上x+a为减函数,则a的取值范围是____。

易错点:缺少分式类函数单调性的逆用。

误区3——抽象函数单调性证明中以特殊代替一般推理

例3 若函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时,f(x)＜0,f(1)=-,求证:f(x)在R上是减函数。

错解:令x=y=0,则2f(0)=f(0),所以f(0)=0。再令x=-1,y=1,则有f(-1)+f(1)=f(0)=0。又f(1)=-2,3

剖析:减函数的定义:对于定义域的子区间中的任意两个自变量x1,x2,当x1＜x2时,有f(x1)＞f(x2),不能取两个特殊值代替。设x1＞x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)+f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)。因为x＞0,f(x)＜0,而x1-x2＞0,所以f(x1-x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),因此f(x)在R上是减函数。

警示:证明或判断函数的单调性要从定义出发,作差后要注意差式的分解变形,合理使用其他题设条件,x＞0时f(x)＜1,我们由x2＞x1,得到x2-x1＞0,则f(x1-x2)＜1,然后要寻找其与f(x2)-f(x1)＞0的关系,所以要进行配凑。……