田青璇

摘要：直线和圆锥曲线的位置关系的判定向来是考察的重点和难点。由于涉及的运算繁冗复杂，需要较强的运算能力，令人头疼。所以，笔者在学习的过程中总结了一点心得体会和变形技巧，运用于直线和圆锥曲线的位置关系的判定中，可以简化运算，节省时间，降低运算难度。

关键词：直线和圆锥曲线的位置关系 技巧 效率

在学习圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥曲线的位置关系这部分知识的过程中，了解到：直线与圆锥曲线的位置关系为高考重点考察内容，是重难点。直线和圆的位置关系，由于可以通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来得到是相切，相交，还是相离的位置关系，但是在处理直线与圆锥曲线的位置关系时，只能将直线圆锥曲线和方程联立，组成方程组，利用代入消元法消去y，出现一个关于x的一元二次方程，判断此方程的Δ>0，还是Δ=0，或者Δ>0的情况，得到直线和圆锥曲线的交点个数。由于这部分知识，计算繁杂，运算量大，大家普遍感觉困难，为此我们有必要在平常的解题变形过程中发现，积累一些常用的变形技巧，降低运算难度，减少错误。

我在学习过程中，通过自己摸索，实践，总结出了一些心得，体会，和大家交流如下。下面，看一道例题：

例一：椭圆 与直线 相切，求k值。

看到这个题，思考难度不大，将直线和椭圆方程联立，组成方程组，利用代入消元法消去y，出现一个关于x的一元二次方程，让此方程的Δ=0，即可解出k的值。下面是解題过程。

解： ①

②

①代入②得：

，整理这个方程，得到：

，由于直线与这个椭圆相切，所以这个方程的Δ=0，即：

从上面的解题过程，不难看出，计算繁杂，运算量巨大，极易出错。所以，在学习过程中，为了解决此类问题，简化运算过程，以直线和椭圆的位置关系举例，总结出了解题技巧如下：

①

②

①代入②，整理得：

所以，小结： ，

这个公式的记忆窍门如下： ，从直线里得到三个分子的写法，分别是 ，从椭圆 中，得到三个分母的写法，依次是 ，这样就很容易记住这个公式了。

用这个公式解例题一得：

①

②

①代入②得：

，由于直线与这个椭圆相切，所以这个方程的Δ=0，即：

这样一来，大大简化运算过程，减少出错概率，得分率高。减少了大家在解题过程中的畏难恐惧心理，轻轻松松去算题。

下面，附加相关练习题：

1.已知椭圆 与直线 没有交点，求m的取值范围。

略解：

2.已知椭圆 与直线 有两个交点，求m的取值范围。

略解

3.若椭圆 与直线 相切，求t值。（解题过程略） 从以上几道题的计算过程中看到，运用Δ公式计算，化繁为简，轻轻松松来算数，高高兴兴去做题。为了Δ公式快捷使用，特意总结：以直线 为例，根据椭圆和 双曲线的不同方程形式，得到不同Δ公式，列表如下：

注意观察公式中分母的写法技巧。

通过使用公式，能有效的降低运算难度，减少运算量，是计算直线和圆锥曲线（椭圆和双曲线）的位置关系的一个常用技巧，大家在学习中注意掌握使用。

（作者单位：河北省张家口市第一中学）endprint