汪 波 黄建玲 牛 丰

城市轨道交通网络末班车衔接优化模型*

汪 波1，2黄建玲1，2牛 丰3

（1.北京市交通信息中心，100073，北京；2.综合交通运行监测与服务北京市重点实验室，100073，北京；3.中国铁路总公司，100844，北京//第一作者，教授级高级工程师）

城市轨道交通网络运营结束阶段，末班车在路网换乘站内能否实现合理地衔接，最能体现出以人为本的客运服务以及科学高效的运营秩序。根据城市轨道交通网络特点，提出了城市轨道交通网络末班车衔接编制的原则。从站间列车运行时间约束、线间列车换乘衔接、末班列车线间衔接目标等角度，研究了轨道交通网络末班车衔接优化量化方法，建立了网络末班列车衔接优化模型。以北京轨道交通城区1号线、2号线和5号线局部路网为实例，编制了网络末班列车的优化时刻表。算例结果表明，模型及其优化算法可行，对路网运输计划编制工作有较强的实用性。

城市轨道交通网络；末班车计划；列车衔接；多目标线性规划

由于城市轨道交通（以下简为“轨道交通”）网络的复杂性，制定和优化首、末班车的衔接具有很大的难度，需要结合网络实际运营情况进行详细分析。在路网换乘站内，相比首班车衔接，末班车是否能合理衔接对乘客出行的影响更大。

1 轨道交通网络末班车确定原则

轨道交通网络换乘站不同线路任何两个方向间都存在换乘可能，n条线路相交换乘站衔接的换乘方向数为4n（n-1）。即：2线换乘车站有8个换乘方向，3线换乘车站的换乘方向将多达24个［1-2］。由于网络结构的复杂性，以及列车运行的连续性，一条线路的末班车开出后，在某换乘站某换乘方向上，乘客能换乘他线列车，但是在该换乘站的其他换乘方向、列车运行依次经过的其他换乘站，乘客不一定能成功换乘［2］。为降低轨道交通网络末班车衔接的难度，可根据城市居民生活特征、道路交通运行情况及网络结构特点，事先确定如下末班车衔接的原则。

（1）末班车时段，轨道交通客流流向主要是市内往郊区方向，末班车衔接应满足市区乘客向市郊方向出行。

（2）根据客流规律确定各区域末班车的发车时间范围。以北京轨道交通为例，末班车发车时间不应早于 22：30，市区线不宜晚于24：00，市郊线不宜晚于 23：00。

（3）合理确定特殊线路与路网其他线的衔接方案，如机场线、新开通线路可暂不考虑与路网其他列车的末班车衔接［3］。

2 轨道交通网络末班车衔接的影响因素

末班车的制定除需考虑列车出发、到达等时间标准外，还要考虑各线列车间乘客的换乘走行时间，形成良好换乘。这些时间要素构成了影响轨道交通网络末班车能否衔接的重要因素。

轨道交通末班车制定的影响因素主要有各线列车的末班车到达和发车时刻、区间运行时间、站停时间以及各换乘站不同换乘方向的乘客换乘走行时间等。具体表示如下。

（1） tarr，up，ij表示第 i条线上行方向的末班列车到第j站的时刻，其中，up代表上行（下同）；

（2） tarr，down，ij表示第 i条线下行方向的末班列车到第j站的时刻，其中，down代表下行（下同）；

（3） Δtrun，up，ij为第 i条线上行方向列车从第 j-1站到第j站的区间运行时间；

（4） Δtrun，down，ij为第 i条线下行方向列车从第 j-1站到第j站的区间运行时间；

（5）Δtstop，ij表示第 i条线的列车在第 j站的站停时间（上下行相等）；

（6） tdepart，up，ij表示第 i条线上行方向的末班列车在第j站的发车时刻；

（7） tdepart，down，ij表示第 i条线下行方向的末班列车在第j站的发车时刻；

（8）ΔTi表示第i条线的发车时间间隔；

（9）Δttrans，jp表示第j站两条线之间某换乘方向p的乘客换乘走行时间。

列车到站时间、站停时间、运行时间及离站时间有以下关系：

为便于研究，本文引入车站换乘冗余时间概念，其含义为乘客在换乘站某换乘方向平p经过换乘走行后，仍可实现换乘的富余时间，用Δtjp表示。以路网中A线上行方向换乘B线下行方向为例，换乘冗余时间可表示为：

本文中，各线始发站末班车时间为列车发车时刻，中间站末班车时间为列车到达时刻。

3 轨道交通网络末班车衔接优化模型

设轨道交通网络有 A、B、C、D、E、F 共 6条线，各线间仅有两两换乘车站，共9个换乘站（见图1），换乘站的集合为S。则：

图1 轨道交通网络示意图

以地铁A线与D线的换乘站“1”为例，两线相交共有8个换乘方向，见图2。首班车情况下，不管列车的衔接情况如何，乘客总能等到换乘A线列车的到来。而对于末班车来说，当错过换乘线列车时将无法再乘到车，因此二者之间有一定的区别。

图2 换乘站换乘衔接方向示意图

3.1 站间列车运行时间约束

通常情况下，轨道交通列车出发后在站间的运行时间及在每站的站停时间都是固定的。例如，当D线上行列车到达换乘站1的时刻确定后，列车到达换乘站2、换乘站3的时刻均可通过下式计算：

同样，对于D线下行的列车有：

记L为路网中线路的集合，本例中L=｛A，B，C，D，E，F｝。

记Si为路网中i线上的换乘站。则有：

D 线上的换乘站的集合为 SD，SD=｛1，2，3｝，则有：

其中，i∈L； j， j-1∈Si。

3.2 线间列车换乘衔接约束

研究线间列车换乘衔接是网络末班车衔接优化的重点，本文以图2中换乘方向（3）、（6）的情况为例进行研究。由A线上行列车与D线下行方向列车换乘衔接关系，两种情况可以表示为：

衔接情况如图3所示。

从图 3中可以看出，由于 Δt1（3）＞ 0，所以 A 线上行方向列车可成功换乘D线下行方向列车；而Δt1（6）＜0，表示乘客无法由D线下行方向列车成功换乘A线上线方向列车。

令TA1、TA′1分别表示列车在1站的到达时间矢量，则：

以ΔTR1表示乘客在1站各个换乘方向的换乘走行时间矢量，则：

以ΔTX表示乘客在1站各个换乘方向的换乘冗余时间矢量，则：

以ΔTS1为各列车在1站的站停时间矢量，则：

综上，车站1各换乘方向列车的衔接关系方程为：

图1中其他8个换乘站可用同样的方法表示。针对路网换乘站末班车衔接关系的方程为：

图3 车站1部分末班车换乘衔接方向示意图

3.3 轨道交通网络末班车衔接优化模型表述

一个两线的换乘站共有8个换乘方向，不可能保证每个换乘方向的要求都能得到同等程度的满足，可根据8个方向的客流分布、衔接方向性质等实际情况，确定8个方向的重要程度［4-5］。

按照上述讨论的顺序，依次标识换乘车站j中8个方向的权重为ωj（1），ωj（2），…，ωj（8），以矢量表示为：

从3.2节分析可得到以下结论：当Δtjp＜0时，表明在换乘站j的p换乘方向换乘失败，当Δtjp＞0时，表明在换乘站j的p换乘方向换乘成功；若要保证重要（客流量较大）的换乘方向换乘成功，则其相反方向一定不能换成成功（如图2所示（1）、（6）两个换乘方向），如果 ω1（1）≥ 0，那么 ω1（6）=0。

记δjp为0、1变量，表示首班车各换乘方向是否能够换乘成功。当δjp=1时，表明在换乘站j的p换乘方向换乘成功；当δjp=0时，表明在换乘站j的p换乘方向换乘失败。即：

若考虑换乘站j的各个换乘方向p的重要度不同，可将δjp乘以其权重ωjp，以此来尽量保证重要的换乘方向能够换乘成功。

轨道交通路网末班车优化的目标有两个。首先，尽量保证主要换乘方向能够换乘成功；此外，在实现上述目标后，需尽量减少乘客在末班车之间换乘的等待时间，即让列车尽可能在差不多的时间到达某换乘站，这样将会节约列车的运营成本。轨道交通网络的末班车衔接优化模型为：

式中：

ΔTXj——乘客在第j个换乘站从到达换乘站台候车至上车离开的乘客等待冗余时间矢量，j表示路网的换乘站，j∈S；

TA，j，TA′j——第j个换乘站各线列车的到达时刻矢量，j∈S；

ΔTRj——乘客在第j个换乘站的换乘走行时间；

ΔTSj——某次列车在换乘站j的站停时间，j∈S；

tarr，up，ij，tarr，down，ij——分别表示i线上行、下行列车到达j站的时刻，i表示路网中的某条线路，i∈L，j∈Si，∪Si=S；

Δtstop，ij——i线列车在j站的站停时间，i∈L，j∈S；

Δtrun，ij——i线列车从j站前一站到j站的运行时间，i∈L，j∈S。

4 轨道交通网络末班车衔接案例分析

选择北京轨道交通1、2、5号线及其5个换乘站进行末班车的衔接分析。3条线及换乘站的分布如图4所示。

图4 1、2、5号线网络及末班车主要换乘方向示意图

记 L 为路网中线的集合，L=｛1，2，5｝；S 为路网换乘站的集合，S=｛F，D，J，Y，C｝，其中 F 为复兴门站，D为东单站，J为建国门站，Y为雍和宫站，C为崇文门站。箭头为主要考虑衔接方向。

1、2、5号线的运行时间及换乘站站停时间如表1～6所示。

取任何站内线线间的乘客换乘走行时间为120 s。模型先计算保证各主要换乘方向能换乘的最优解，再计算此条件下的最优方案（乘客等待时间最少）。

本文采用轨道交通网络末班车优化衔接模型，运用lingo9.0算得相对列车末班车时刻表，如表7所示。

表1 1号线运行时间

表2 1号线换乘站站停时间

表3 2号线运行时间

表4 2号线换乘站站停时间

表5 5号线运行时间

表6 5号线换乘站站停时间

由表7可知，1号线的上行方向始发时刻最早，即苹果园站的始发时刻最早。根据末班车确定原则，末班车发车时间不早于10∶30∶00，所以定1号线末班车苹果园站的发车时刻为10∶30，其他车站末班车时刻如表8及图5所示。

表7 末班车始发及到达各换乘站相对时刻表

表8 末班车始发及到达各换乘站时刻表

根据表8可算出末班车主要换乘方向衔接结果，如表9所示。当最大候车时间＞0时，表明该方向可实现末班车的换乘。

5 结语

轨道交通网络中线路和换乘站的增加，带来了各线之间列车衔接困难的问题，体现在每天的首末班车时段，即存在首班车等待过久、末班车不能换乘，尤其是保证各线间末班车的换乘衔接变得非常困难。

本文提出轨道交通网络末班车原则，应结合各换乘站不同方向的换乘量，先确定路网中需衔接的换乘站和换乘方向，再确定线路各站的末班车时间。一个2线换乘站有多个换乘方向，不可能保证每个换乘方向的要求都能得到同等程度的满足，若要保证重要（客流量较大）的换乘方向换乘成功，则其相反方向一般不能换乘成功。

图5 末班车列车时刻表

表9 末班车主要换乘方向衔接结果

本文建立了在整个轨道交通路网中尽量实现多换乘方向换乘成功和减少总换乘时间为目标的多目标线性规划模型。并采用该模型对北京轨道交通局部网络末班车时间进行了优化设置。实际数据和计算表明，该网络末班车制定模型是可行的，可以扩展到更大规模轨道交通网络，以及含有 3线、4线换乘站的末班车时间求解。

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Optimum Model of Last Train Connection for Urban Mass Transit Network

WANG Bo，HUANG Jianling，NIU Feng

At the end of everyday rail transit operation，the rational connection of last trains at interchange stations on rail transit network can reflect directly the people-oriented service level，and the efficient operation order.Firstly，based on the complexity of urban rail transit network，the principles in last train connection system are proposed.Secondly，from angles of inter-station running time constraint，interchange connection and objectives of last train linkage on different lines，the optimum quantitative method for last train linkage is studied，and an optimization model is set up.Taking parts of Beijing rail transit Line 1，Line 2 and Line 5 as the research targets，an optimized timetable for last trains in network is produced.The algorithm result shows that the model and optimization algorithm is feasible and practical for the network transport planning.

urban rail transit network； last train planning；train connection；multi-objective linear programming

U292.4

10.16037/j.1007-869x.2017.10.002

First-author′s address Beijing Transportation Information Center，100073，Beijing，China

*北京市自然科学基金重点项目（8171003）

2016-01-26）