张泽锋，宋 强

(信阳职业技术学院 数学与计算机科学学院，河南 信阳 464000)

n阶行列式算法研究

张泽锋，宋 强

(信阳职业技术学院 数学与计算机科学学院，河南 信阳 464000)

行列式的计算方法有许多种，同一个行列式有不同的计算方法.为了较快地计算行列式，需要根据行列式的结构特点选择合适的方法.文章首先给出行列式的定义和性质，然后结合实例论述了行列式的8种计算方法.

n阶行列式；三角法；计算方法；范德蒙行列式

0 引言

随着科学的发展，行列式被应用于许多领域.行列式的计算又是解决一些实际问题的关键.而n阶行列式因为阶数较高、构造复杂，加大了计算难度.目前有许多计算n阶行列式的方法，每一种方法都有其独特之处，然而在实际的计算过程中，不同的方法往往适合于不同特征的n阶行列式.因此，总结不同特点的n阶行列式较为适用的计算方法显得尤为重要.

1 行列式的定义

定义：n阶行列式

等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积a1p1a2p2…anpn的代数和[1]56.

2 行列式的性质

利用行列式定义很难去计算高阶行列式，下面研究行列式的性质[2]60-67，用以简化行列式的计算过程.

性质1 把行列式的两行或两列交换, 改变行列式的正负号.

推论1 如果行列式D中有两行或两列元素相等, 则D=0.

性质2 行列式D中一行的每个元素都乘以数k等于用k乘以行列式D.

推论2 如果行列式D中有两行(列)的元素对应成比例, 则D=0.

性质3 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.

性质4 行列式任意一行的所有元素都乘以k后加到另一行的对应元素上，则行列式的值不变.

性质5 如果行列式中的某一行(列)所有元素都是2个数的和，则行列式具有分行(列)相加性.

3 求解n阶行列式的方法

3.1 化三角形法

化三角形法是利用行列式性质把行列式化为上(下)三角形行列式再计算的一种方法[3]40-50.

例1计算n阶行列式

3.2 换元法

换元法利用到下面行列式的性质：

设

例2计算n阶行列式

3.3 利用范德蒙(Vandermonde)行列式法

根据行列式的特点，把所求行列式适当变形化成范德蒙行列式[4]60-78.

例3计算n阶行列式

把上面第1个行列式的i行加到i+1行；第2个行列式的第i列提取ai-1(i=1,2...n)得：

3.4 拆项法

拆项法是利用行列式性质5把原行列式化成2个行列式之和，从而简化行列式的计算.

例4计算n阶行列式

解：按行列式第1列把原行列式拆成2个行列式的和得：

当n≥3时，Dn=0，当n=2时，D2=(a2-a1)(b2-2b1)

3.5 加边法

在Dn行列式中添上一行和一列得行列式Dn+1，建立Dn与Dn+1的联系以求得结果.

例5计算n(n≥2)阶行列式

其中x1x2…xn≠0．

3.6 递(逆)推公式法

递推法是由行列式的结构特点，建立起Dn与Dn-1或Dn+1的递推关系式，逐步推下去求出Dn的值.

例6计算

解：

Dn=(b-x)Dn-1+x(b-x)n-1=(b-x)2Dn-2+2x(b-x)n-1

=…=(b-x)n-2D2+(n-2)x(b-x)n-1=(b-x)n-1[b+(n-1)x].

3.7 提取公因式法

如果行列式满足下列3个条件之一，则可以用提公因式法：1)“a,a,…,a型”行列式；2)“邻和型”行列式；3)“全和型”行列式.

例7计算n阶行列式

3.8 利用乘法定理法

乘法定理是将行列式分解为两个简单的行列式的乘积，从而解出原行列式的值.

例8计算n阶行列式

因此，n>2时，Dn=0；当n=2时,D2=(x2-x1)(y2-y1)；当n=1时,D1=1+x1y1.

4 结语

行列式的计算方法还有很多，文中主要介绍了计算行列式的几种常见方法.不同的题目可能会用到不同的计算方法，在计算时需要多观察行列式的特点，根据行列式特点，灵活选取恰当的方法求解行列式.我们在计算行列式的时候，不应该只满足其中一种算法，而应该多了解一些其他的算法.这样我们对问题才有更深刻的理解，碰到了不熟悉的行列式也能从中找到解决问题的方法.

[1] 北京大学数学系.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[2] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社,2004.

[4] 杨桂元.线性代数[M].成都:电子科技大学出版社,2004

DiscussiononN-orderDeterminantAlgorithm

ZHANG Zefeng, SONG Qiang

(XinyangVocationalTechnicalCollege,Xinyang464000,China)

There are many kinds of method for calculating the determinant, while the same determinants have different calculation methods. For fast calculating the determinant, the appropriate method is chosen through the structure characteristics of determinant. This paper first gives the definition and properties of determinant, and then discusses the eight kinds of calculation methods of the determinant.

N-order determinant; trigonometry; computing method; Vandermonde determinant

O151.22

A

1671-8127(2017)05-0072-05

2017-01-18

张泽锋(1987- ),男,河南信阳人,信阳职业技术学院讲师,硕士,主要从事代数学研究。

[责任编辑梧桐雨]