□陈欢

（陕西国际商贸学院基础部陕西咸阳712046）

实变量复值函数的连续性

□陈欢

（陕西国际商贸学院基础部陕西咸阳712046）

本文研究了复值函数的分析性质,给出复值函数的极限与有界性定义。提出了复值函数连续、左连续、右连续、区间连续的概念。给出了复值复合函数的概念。

复值函数；复合复值函数；复值函数连续；有界性

将实值函数进行傅里叶变换得到复值函数。傅里叶变换在信号处理，图像处理以及微分方程求解中有广泛的应用，复值函数的研究并不像实值函数那么深入。对复值函数研究是必要而有意义的。本文提出了复值函数连续的概念，讨论复值函数的连续性，给出了复值函数在求解中的应用例子。

1 复值函数的概念

根据实值函数的概念，引入复值函数的概念与复合复值函数如下：

定义1.1[3]设y=φ(t)和y=ψ(t)是区间[α,b]上的实函数，是虚数单位，如果对于区间[α,b]中的每一个实数t，有唯一复数z(t)=φ(t)+iψ(t)与它对应，则称在区间[α,b]上给定了一个复值函数，记作z=z(t)，t∈[α,b].

定义1.2（复合复值函数）设有一个复值函数w=f(u)与实函数u=φ(t)

记E*={t|φ(t)∈D}∩E。若E*不为空，则对每一个t∈E*，可通过实值函数u=φ(t)对应D内唯一的一个值u，而u又是通过复值函数f(u)对应唯一的一个值w。这就确定了一个定义在E*上的复值函数，它以t为自变量，w为因变量，记作

称为复值函数f(u)和实值函数φ(t)的复合函数，并称f(u)为外函数，φ(t)为内函数，u为中间变量。复值函数f(u)和实值函数φ(t)的复合运算也可记为f°φ。

定义1.3设z(t)=φ(t)+iψ(t)是定义在区间[α,b]上的复值函数，若φ(t)和ψ(t)均是[α,b]上的有界函数，那么称z=z(t)是[α,b]上的有界复值函数。……