范 林，李 艳

(宝应县氾水高级中学，江苏 宝应 225819)

常见最值问题与恒成立、存在性问题探究

范 林，李 艳

(宝应县氾水高级中学，江苏 宝应 225819)

高一函数值域后续内容有最值问题，尤其是高二命题和导数中常见用参数分离求最值的题目。教学时要重点讲清、讲透这类问题的解题方法，让学生从本质上理解这类问题的知识根源和解决方法。

函数单调性；函数最值；恒成立；存在性问题

求函数最值或不等式恒成立、存在性问题是高考的重点，也是高中学生感到有难度的内容。教学时要重点讲清、讲透这类问题的解题方法，让学生从本质上理解这类问题的知识根源和解决方法。

1 第一类问题： 二次函数的最值问题

二次函数的解题基本规律：1) 确定函数的单调性。2) 确定函数的最值点。

例1求函数y=x2+4x+1的最小值。

例2求函数y=x2+4x+1，x∈[-1，0]的最小值[1]。

错解： 由最值公式得

正解：y=x2+4x+1的对称轴方程为x=-2，y=x2+4x+1在区间[-1，0]为单调增函数，所以

ymin=(-1)2+4×(-1)+1=1-4+1=-2。

求给定区间的函数最值，一般先判断函数在这个区间上的单调性，再确定函数的最值点。求含参数的二次函数给定区间的最值的方法相同。

例3求函数y=x2-2ɑx+1，x∈[1，2]的最大值与最小值[2]。

解y=x2-2ɑx+1的对称轴方程为x=ɑ。

当ɑ≤1时，y=f(x)在区间[1，2]为单调增函数，所以

f(x)min=f(1)=2-2ɑ，

f(x)max=f(2)=5-4ɑ。

当1<ɑ<2时，

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2。

f(x)max=f(2)=5-4ɑ；

f(x)max=f(1)=2-2ɑ。

当ɑ≥2时，y=f(x)在区间[1，2]为单调减函数，故

f(x)max=f(1)=2-2ɑ，

f(x)min=f(2)=5-4ɑ。

通过讨论函数的单调性，可以将函数的图象大致画出来，进而直观地判断函数的最值点，利用对称轴从左到右移动产生于区间的位置关系可以做到不遗不漏，解题思路条理分明。

例4求y=x2-2x+1在区间[m，m+1]的最大值与最小值[3]。……