张海燕，李耀红，李冬楠

宿州学院数学与统计学院，宿州，234000

一例三重积分多种解法的比较分析

张海燕，李耀红，李冬楠

宿州学院数学与统计学院，宿州，234000

通过一例三重积分在直角坐标、柱面坐标和球坐标下五种解法，探讨了三重积分计算问题的基本思路和方法。结合相关文献，分析了三重积分计算中如何根据积分区域、被积函数、积分限和区域图形情况选择合适的坐标系，将三重积分化为三次积分进行计算。

三重积分；积分区域；多种解法

1 直角坐标系下的计算

1.1 利用截面法

由于被积函数为z2，只含有一个变量，因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分。又由于空间区域V用平行于xy平面的平面截得的是一个圆面，即

此时积分区域V=V1+V2,其中

从而

1.2 利用投影法

V={(x,y,z)|(x,y)∈D,

从而

-3r(t2-t)]dt

2 柱面坐标系下的计算

由于积分区域V由x2+y2+z2≤r2和x2+y2+z2≤2rz所确定，且有

注2：通过对比，柱面坐标下计算三重积分和直角坐标系下利用投影法计算三重积分基本相同。

3 球坐标系下的计算

3.1 利用积分区域可加性

作球面坐标变换x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,则积分区域V1变为

则积分区域V2变为S1和S2：

因此利用球面坐标，有

3.2 利用积分区域补全法

作球坐标变换x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,则积分区域V2变为

因此利用球坐标，有

对积分区域V2也可以利用区域补全法，可以得到和以上类似的结果。

注3：比较上述两种算法，难易程度相当，说明在区域划分没有减少的情况下，利用区域可加性和区域补全法计算三重积分均可。

4 计算方法的比较分析

通过对一例三重积分的五种算法比较可知，三重积分计算基本思路和方法是选取不同坐标系，将三重积分化为三次积分，根据具体问题的特点采取不同积分次序进行计算。……