王 娇

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

整矩阵的满秩分解

王 娇

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

文章以整矩阵为研究对象，利用保持整矩阵整元素特性的整初等变换，研究了将非零整矩阵分解为列满秩整矩阵和行满秩整矩阵的乘积问题，完成了整矩阵的满秩分解。

整矩阵；整初等变换；满秩分解

设有元素均为整数的m行n列矩阵A，简称A为整矩阵。用表示秩为r的m行n列整矩阵的集合。整矩阵简单、美观，便于计算。比如，矩阵的加、减、乘、转置，计算起来没有什么难度。不过，在有关矩阵的复杂运算中，例如求解矩阵方程、矩阵对角化、矩阵的初等变换、矩阵求逆、特征值和特征向量计算等，却无法保持整元素的特性。

在数值计算等研究中，用矩阵的初等变换或广义初等变换对矩阵的研究较多，但一般意义下，矩阵的初等变换或广义初等变换不能保持整矩阵的整元素特性。许多学者注意到了这一现象，并且对整矩阵的研究也取得了一些成果。比如，张知难、张景晓、邱森、孙春涛等对整矩阵的分解过程及性质应用等相关结论做了许多研究[1-5]；张凯院等[6]研究了矩阵的满秩分解。虽然成果丰富，但是有待进一步研究的问题还有很多。本文借鉴矩阵的初等变换法，研究一类保持整矩阵的整元素特性的整初等变换法，并利用这类整初等变换法对整矩阵进行满秩分解。

1 基本概念

下面定义整矩阵的整初等行变换。

定义2 整矩阵的整初等行变换是指下列三种变换：