王 娇

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

整矩阵的满秩分解

王 娇

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

文章以整矩阵为研究对象，利用保持整矩阵整元素特性的整初等变换，研究了将非零整矩阵分解为列满秩整矩阵和行满秩整矩阵的乘积问题，完成了整矩阵的满秩分解。

整矩阵；整初等变换；满秩分解

设有元素均为整数的m行n列矩阵A，简称A为整矩阵。用表示秩为r的m行n列整矩阵的集合。整矩阵简单、美观，便于计算。比如，矩阵的加、减、乘、转置，计算起来没有什么难度。不过，在有关矩阵的复杂运算中，例如求解矩阵方程、矩阵对角化、矩阵的初等变换、矩阵求逆、特征值和特征向量计算等，却无法保持整元素的特性。

在数值计算等研究中，用矩阵的初等变换或广义初等变换对矩阵的研究较多，但一般意义下，矩阵的初等变换或广义初等变换不能保持整矩阵的整元素特性。许多学者注意到了这一现象，并且对整矩阵的研究也取得了一些成果。比如，张知难、张景晓、邱森、孙春涛等对整矩阵的分解过程及性质应用等相关结论做了许多研究[1-5]；张凯院等[6]研究了矩阵的满秩分解。虽然成果丰富，但是有待进一步研究的问题还有很多。本文借鉴矩阵的初等变换法，研究一类保持整矩阵的整元素特性的整初等变换法，并利用这类整初等变换法对整矩阵进行满秩分解。

1 基本概念

下面定义整矩阵的整初等行变换。

定义2 整矩阵的整初等行变换是指下列三种变换：

(1)互换整矩阵的第i行与第j行，记为Ri↔Rj；

(2)用-1乘整矩阵的第i行，记为-1·Ri；

(3)把整矩阵的第j行的非零整数k倍加到第i行，记为Ri+kRj。

对于整矩阵，同样地可以定义整初等列变换。我们将整初等行变换和整初等列变换统称为整初等变换。

定义3 对单位矩阵E作一次整初等变换得到的矩阵称为初等整矩阵。经过定义2中三种整初等行变换都有一个与之相应的初等整矩阵，分别为

同样，对单位矩阵E作一次整初等列变换所得的矩阵也是上述三类矩阵，即这三类矩阵就是全部的初等整矩阵。

显然，初等整矩阵都是可逆矩阵，它们的逆矩阵仍是初等整矩阵，且为

2 主要结论

定理1[7]对一个整矩阵A作一次整初等行变换就相当于在A的左侧乘上相应的初等整矩阵，对A作一次整初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的初等整矩阵。

证明 利用整初等行变换，可将A化为阶梯形整矩阵

该过程如下，由于r＞0，则A中必含有一个非零元素aij∈Z，不妨设a11≠0，且

其中ri1=0或0＜ri1＜a11，qi1,ri1∈Z,则

此时，利用第三种整初等行变换可将第1列中除a11以外的元素全部化为零或大于零小于a11的整数，令r为r21,…,rm1中最小的非零整数。这时有0＜r＜a11，再利用第一种整初等行变换可将r交换至a11位置。同样，若r能整除新矩阵第1列中其余所有的元素，则又可利用一系列第三种整初等行变换将第1列a11位置（这时是r）以外的其余元素全部化为零。不然，将上述步骤重复进行，则可将正整数r化为比它更小的非零正整数。

由于a11为正整数且为定数，上述每一次变换都将a11化为比它小的正整数，故至多进行有限次后，总能将a11位置的元素化为可以整除第1列中其余元素的正整数a′11，从而可将这些元素化为零。即必可经过若干次整初等行变换化为

对B1按类似过程进行下去，有

3 算例

[1]张知难，张建宁，陈伟侯.整矩阵的MT分解及MT过程[J].数值计算与计算机应用，1994，15（3）：200-205.

[2]张景晓.整数矩阵的性质及应用[J].重庆理工大学学报(自然科学版)，2010，24（4）：117-119.

[3]张知难.化整矩阵为整Hessenberg型的一种整相似变换[J].数值计算与计算机应用，1990，11（3）：251-253.

[4]邱 森，朱林生.高等代数探究性课题精编[M].武汉：武汉大学出版社，2012：212-224.

[5]孙春涛，蹇 红.关于整数矩阵几个问题的思考[J].重庆师范大学学报(自然科学版)，2013，30（2）：39-41.

[6]张凯院，徐 仲.数值代数[M].北京：科学出版社，2010：15-17.

[7]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].4版.北京：高等教育出版社，2013：71-75.

[8]Chen B,Lin L,Liu H.Matrix product codes with rosenbloom-tsfasman metric[J].Acta Mathematica Scientia,2013,33(3)：687-700.

[9]王 娇，张凯院，李书连.多矩阵变量线性矩阵方程的广义自反解的迭代算法[J].数值计算与计算机应用，2013，34（1）：9-19.

[10]张凯院，王 娇.一类Riccati矩阵方程广义自反解的双迭代算法[J].数学杂志，2015，35（2）：469-476.

[11]王 娇，张凯院.一类双变量矩阵方程广义自反Ls解的迭代算法[J].纺织高校基础科学学报，2013，26（1）：130-136.

Full rank factorization of integer matrix

WANG Jiao
(Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi046011,China)

The integer matrix is studied in this article.Based on the integer elementary transformation which can keep the integer element properties of the integer matrix,the product problem is considered in order to decompose the non-zero integer matrix into the column full rank integer matrix and the row full rank integer matrix.Accordingly,the full rank factorization of integer matrix is implemented.

integer matrix;integer elementary transformation;full rank factorization

O151.21

A

1004-4329（2017）03-010-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-010-03

2017-05-03

长治学院校级科研项目（201515）资助。

王 娇（1988- ），女，硕士，助教，研究方向：计算数学。