康 卫，陈 昊，郝云力

（1.阜阳师范学院 信息工程学院，安徽 阜阳 236041；2.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

时滞离散系统的有限时间稳定性分析

康 卫1，陈 昊2，郝云力1

（1.阜阳师范学院 信息工程学院，安徽 阜阳 236041；2.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

本文主要研究了具有时变时滞的离散线性系统的有限时间稳定性问题。首先构造一个新颖的李雅普诺夫泛函，然后结合离散形式的Wirtiner-based不等式和倒凸不等式技巧，给出了系统有限时间稳定的线性矩阵不等式形式。最后，给出了一个数值实例来诠释了本文的方法能够减少系统的保守性以及通过数值仿真说明结果的可行性。

时变时滞；有限时间稳定；离散系统；线性矩阵不等式

时滞现象经常存在于各类实际系统中，如生物系统、网络控制系统等。然而，由于时滞的存在可能导致系统的不稳定或者较差的性能。因此，对于时滞系统的研究是非常有必要的，特别是对于时滞系统的稳定性研究。于是，近年来许多研究者得到了很多富有成效的结论[1-3]。值得注意的是，大部分的研究成果都是关于连续时间系统的稳定和控制问题。但是，随着信息科技的飞速发展，对于离散系统的研究尤为迫切，尤其是在计算机仿真和模拟计算过程中通常都需要把连续系统转化为离散系统。因此，关于离散时间系统的研究也引起了许多学者的注意，也取得的一些结果[3,4,8-11]。比如，文献[3]研究了离散系统的稳定性问题，文献[8]研究了离散神经网络的无源性问题，文献[10]和[11]给出了具有实际应用背景的两个数学模型，分别是摆钟系统和简易纵向飞行系统。

另一方面，在很多文献中，在讨论时滞系统稳定性时，大部分成果都是研究渐进稳定和指数稳定。但是，有限时间稳定在控制理论中也具有重要的作用。正因为此，也有一些学者研究系统的有限时间稳定并且取得了很多成果[4-7]。比如，参考文献[6-7]研究了离散时间系统的有限时间稳定问题。但是，目前仍然有很大的空间进一步研究离散系统的有限时间稳定。鉴于此，本文主要研究离散时滞线性系统的有限时间稳定问题。

1 预备知识

本文考虑如下离散系统：

其中，x(k)是系统的状态变量,A=(aij)n×n,B=(bij)n×n是常数矩阵；时滞τ(k)满足τm≤τ(k)≤τM；且τm,τM为正整数，ψ(i)是系统的初始条件。另外，定义η(i)=x(i)-x(i-1),ηT(i)η(i)≤δ,i∈{-τM,…,-1}。

接下来的引理和定义对研究时滞系统的有限时间稳定非常重要。

引理1[9]对于给的正定矩阵Z和离散时间变量x(i+)→Rn，当h≥1时，下列不等式成立：

引理2[8]对任意的向量ξ1,ξ2，给定矩阵T,N,参数α＞0,β＞0且

定义1[7]对于给定的矩阵A＞0和k∈{1,2,…,N},离散系统（1）关于(c1,c2,A,N)有限时间稳定，如果

2 主要结果

为方便起见，定义如下矩阵和变量：

定理1 给定参数α＞1，离散系统（1）关于(c1,c2,A,N)是有限时间稳定的，如果存在正定矩阵P,Q1,Q2,Z1,Z2和任意矩阵U1,U2,U3,M∈R2n×2n以及参数λi(i=1,2,…,6)，使得下列不等式成立：

沿着系统（1）计算差分算子得到：

根据引理1和引理2，可以得到：

其中，

另一方面，对于任意的矩阵U1,U2,U3，利用系统（1）方程可以得到：

因此，结合（5）到（14），可以得到结论

根据定理1，有

进一步，可以推导出V(k) ＜αkV(0)。

另外，根据系统（1）的初始条件和构造的李雅普诺夫泛函，有

从而，可以得到

又由于V(k) ＞λ1xT(k)Ax(k)，有xT(k)Ax(k)≤。故系统（1）是有限时间稳定的。证毕。

3 数值实例

例1 考虑系统（1）模型具有如下的参数

在这个例题中当τm=2时，根据定理1可以计算出系统的最大时滞是13，这个结果远远好于参考文献[6]和[7]的结果。另外，系统取不同的最小时滞的情况，具体如表1。

表1 τm取不同的值τM的最大上界

由表1，可以看出该结果远远好于参考文献[6,7]给出的结果，说明了本文方法的优越性。图1还给出了系统当初始值x(0)=[-1,1]的仿真图形。由图1可以看出系统（1）关于(2.1,80,I,80)是有限时间稳定的。

图1 例1所给系统当初始值x(0)=[-1,1]的仿真图形

[1]Park P G,Ko J W,Jeong C.Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays[J].Automatica,2011,47(1)：235-238.

[2]Seuret A,Gouaisbaut F.Wirtinger-based integral inequality：application to time-delay systems[J].Automatica,2013,49(9)：2860-2866.

[3]Nam P T,Pathirana P N,Trinh H.Discrete-time Wirtinger-based inequality and its application[J].Journal of the Franklin Institute,2015,352：1893-1905.

[4]Zhang Y,Shi P,Nguang S K.Finite-time boundedness for uncertain discrete neural networks with time-delays and Markovian jumps[J],Neurocomputing,2014,140：1-7.

[5]Xu J,Sun J.Finite-time stability of linear time-varying singular impulsive systems[J].IET Control Theory and Applications,2010,4(10)：2239-2244.

[6]Zuo Z Q,Li H C,Wang Y J.New criterion for finitetime stability of linear discrete-time systems with timevarying delay[J].Journal of the Franklin Institute-Engineering and Applied Mathematics,2013,350(9)：2745-2756.

[7]Zhang Z,Zhang Z,Zhang H,et al.Finite-time stability analysis and stabilization for linear discrete-time system with time-varying delay[J].Journal of the Franklin Institute,2014,351(6)：3457-3476.

[8]Kang W,Zhong S M,Cheng J.Relaxed passivity conditions for discrete-time stochastic delayed neural networks[J].International Journal of Machine Learning and Cybernetics,2016,7(2)：205-216.

[9]Seuret A,Gouaisbaut F,Fridman E.Stability of Discrete-Time systems with Time-Varying delays via a novel summation inequality[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2015,60(10)：2740-2745.

[10]Gao H,Chen T,New results on stability of discretetime systems with time-varying state delay[J].IEEE Transactions onAutomatic Control,2007,52：328-334.

[11]Liu Y,Park J H,Guo B Z.Non-fragile H∞filtering for nonlinear discrete-time delay systems with randomly occurring gain variations[J].ISA Transactions,2016,63：196-203.

Finite-time stability for discrete-time system with time-varying delay

KANG Wei1，CHEN Hao2，HAO Yun-li1
(1.School of Information Engineering,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236041,China;2.School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,Huaibei Anhui230039,China)

In this paper,the problem of finite-time stability for discrete-time system with time-varying delay is investigated.By constructing a novel Lyapunov-Krasovskii functional and discrete Wirtinger-based inequality,reciprocally convex approach,the improved finite-time stability criteria are derived in form of linear matrix inequalities.Finally,a numerical example is given to show the less conservatism and effectiveness of the proposed method.

time-varying delay;finite-time stability;discrete-time system;linear matrix inequalities

O231，O193

A

1004-4329（2017）03-001-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-001-04

2017-03-12

安徽省高校自然科学基金重点项目（KJ2016A555,KJ2016A625）；安徽省中青年优秀人才基金项目（gxyq2017158）；阜阳师范学院校级研究项目（2016FSKJ07）资助。

康 卫（1985- ），男，博士生，讲师，研究方向：控制工程与应用。