江苏省南京金陵中学河西分校 李玉荣 (邮编:210019)

走进压轴题的“一线三等角”

江苏省南京金陵中学河西分校 李玉荣 (邮编:210019)

1 基本模型

文[1]、[2]把下面一个几何基本图形称为“一线三等角模型”:

图1

如图1,直线l上有三点A、B、C,且 ∠DAC＝∠DCE＝∠CBE＝90°,则△DAC∽ △CBE．特别地,当DC＝CE 时,△DAC≌△CBE．我们把具有此特征的图形称为“一线三等角模型”．

2 中考压轴题

例1(2017年扬州卷)如图2,已知正方形ΑΒCD的边长为4,点Ρ是ΑΒ边上的一个动点,连接CΡ,过点Ρ作ΡC的垂线交ΑD于点Ε,以ΡΕ为边作正方形ΡΕFG,顶点G在线段ΡC上,对角线ΕG、ΡF相交于点Ο．

(1)若ΑΡ＝1,则ΑΕ＝_________________;

(2)①求证:点Ο一定在 △ΑΡΕ的外接圆上;

②当点Ρ从点Α运动到点Β时,点Ο也随之运动,求点Ο经过的路径长;

(3)在点Ρ从点Α到点Β的运动过程中,△ΑΡΕ的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到ΑΒ边的距离的最大值．

分析(1)、(2)①、②略;

图2

备用图

(3)易知△ΑΡΕ的外接圆的圆心为PE的中点M,作MH⊥AB于H,产生“一线三等角模型”,圆心到ΑΒ边的距离为MH,求MH的最大值可借助二次函数求解．

解(3)取EP的中点M,则M为 △ΑΡΕ的外接圆的圆心,作MH⊥AB于H,则PA＝2PH．

设PH＝x,MH＝y,则PB＝4－2x,根据“一线三等角模型”知△MHP∽△PBC,得MH PB,即

例2(2017年南京卷)折纸的思考．

【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步,对折矩形纸片ABCD(AB＞BC)(图①),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图②)．

第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点C′落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC．

(1)说明△PBC是等边三角形．

【数学思考】

(2)如图④．小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．

(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为acm．

对于每一个确定的……