安徽省安庆市第一中学 洪汪宝 (邮编:246004)

一道高考真题的解法赏析与推广引申

安徽省安庆市第一中学 洪汪宝 (邮编:246004)

题目已知F为抛物线C:y2＝4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1、l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则AB ＋DE 的最小值为( )．

A．16 B．14 C．12 D．10

本题是2017年全国新课标Ⅰ卷理科第10题,是平面解析几何中常见的最值问题,主要考查抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系、抛物线的焦点弦长、基本不等式等多个知识点,考查学生抽象概括能力、运算求解能力、逻辑推理能力等多种能力,考查函数与方程思想、数形结合思想等数学思想方法．本题具有起点低、入口宽、解法多、有利于培养学生的探究能力等特点．

1 解法赏析

解法1由条件知直线l1、l2的斜率存在且不为0,F1,0(),设l1:y＝k(x－1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去y得k2x2－ (2 k2＋4)x＋k2＝0,根据韦达定理知,于是 AB ＝x1＋x2＋2＝,同理可得 DE ＝4＋4k2,所以 AB＋,当且仅当k＝±1时等号成立,因此 AB＋DE 的最小值为16,故选A．

解法赏析本解法比较常规,设斜率利用点斜式给出直线,联立方程组利用韦达定理并根据抛物线的定义表示出焦点弦长,利用垂直关系将代替k表示出另一焦点弦长,最后利用基本不等式求出最小值,一气呵成!

解法2设直线l1的倾斜角为θ,则根据抛

解法赏析直接利用抛物线的焦点弦长公式(抛物线C:y2＝2px(p＞0),过其焦点且倾斜角为θ的焦点弦长为),表示出两条焦点弦长,再利用柯西不等式或基本不等式求出最小值．利用常见结论来解题,特别是圆锥曲线中的结论,以利于节约时间,快速解题．

解法3以点F为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,不妨设Aρ,θ(),其中ρ＞0,0＜θ＜π,则于是 BF ＝

解法赏析建立极坐标系,将焦点弦长用极坐标来表示,体现了极坐标系的优越性．

以上结论是否具有一般性呢?此时四边形AEBD是对角线互相垂直的四边形,其面积有最小值吗?椭圆和双曲线有类似结论吗?下面笔者对这些问题进行了推广引申．

2 推广引申

结论1已知F为抛物线C:y2＝2px(p＞0)的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1、l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则

(1)AB ＋DE 的最小值为8p;

(2)四边形AEBD的面积的最小值为8p2．

证明设直线l1的倾斜角为θ,则根据抛物线的焦点弦长公式得同理可得或DE ＝

结论2已知F为椭圆b＞0)的右焦点,过F作两条互相垂直的直线l1、l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,其离心率为e,焦准距为p,则

证明以点F为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,不妨设Aρ,θ(),其中ρ＞0,0≤θ＜π,则于 是 AB ＝

进一步探究发现,此时 AB ＋DE 与四边形AEBD的面积均存在最大值．于是可得下面的结论:

结论3已知F为椭圆b＞0)的右焦点,过F作两条互相垂直的直线l1、l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,其离心率为e,焦准距为p,则

推导过程仿结论2的证明,当θ＝0时,均取到最大值．在此从略．

对于双曲线,是否有类似结果?不过考虑到双曲线具有两条渐近线,为了研究问题的方便,在此只考虑直线l1、l2与同支相交的情况,于是得到下面结论:

结论4已知F为双曲线＞b＞0)的右焦点,过F作两条互相垂直的直线l1、l2且直线l1与C的右支交于A、B两点,直线l2与C的右支交于D、E两点,其离心率为e,且1＜e＜ 2焦准距为p,则

此结论的证明过程可仿照结论2的证明．在此从略．

于是,我们将结论1、2、4统一为如下结论:

结论5已知F为圆锥曲线C的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1、l2,若直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,其离心率为e(0＜e＜ 2),焦准距为p,则

2017-07-16)