张铭浩(北京师范大学附属中学 北京 100052)

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真空管道空气制动系统的模型设计——空气阻力系数的计算与恒定空气阻力的模型设计

张铭浩
(北京师范大学附属中学 北京 100052)

真空管道运输指在气压为小于等于0.5 atm的气密性良好的密闭管道内运行磁悬浮列车，空气制动系统是指仅利用空气阻力实现车体减速的系统.将通过动量守恒定律推导制动时的空气阻力公式，并提出一种利用空气阻力制动的真空管道系统的设计方案，给出一定的理论计算.

动量守恒定律 空气阻力 真空管道运输

1 引言

真空管道空气制动系统中，空气阻力的分析是一类非常复杂的物理问题，即使是近代物理也很难用一个简洁漂亮的方程统一描写所有情况下的流体问题.本文主要通过对不同车头形状造成的空气分子散射的分析,根据动量守恒关系,计算制动时阻力的基本形式,设计通过控制减速区段的空气密度使车体受到恒定的空气阻力的模型.对于空气介质，本文将考虑粘滞和漩涡忽略不计的情况.

2 对于制动时空气阻力系数的理论推导

我们知道空气阻力与相对速度的平方成近似的正比关系，而对于不同的迎风面形状，阻力系数会有很大的差别.当一个物体以速度v在密度为ρ的均匀介质中匀速运动时，它所受到的阻力可以写为

f=ερv2

其中ε为与运动物体形状有关的系数，称为空气阻力系数.研究一个实际问题，空气阻力系数不会像解题一样在题干中给出，所以对于不同的车头形状，阻力系数需要从造成阻力这一过程的本身出发.下面介绍应用封闭理学系统内的动量守恒定律[1]来计算两种不同车头形状阻力系数的推导过程.

2.1球面的阻力系数

考虑一个在空气中以恒定速度v运动的半径为R的球体，因为球对称性，所以考虑分子碰撞速度变化只需要一个自由度，即速度矢量和撞击点到球心连线的夹角θ.如图1所示，以球面的球心为原点建立平面极坐标系.考虑θ到θ+dθ角度对应的球体的微分表面，因为入射角度相同，假设空气分子与球体表面的碰撞为完全弹性碰撞，则撞击到整个圆环上的空气分子动量改变都相同.根据这一特点，即可计算出这个角度对应的一个圆环与空气分子碰撞后，车体的动量改变.

图1 通过动量守恒定律计算球面的阻力系数

dθ角所对弧dL=Rdθ对应的截面积

dS=2πR2sinθcosθdθ

假设单位体积空气分子数为n，管道中车体速度为v，则在dt时间内，应该有N个空气分子撞上车

指导教师：邵华(1982- )，男，博士，主要从事竞赛辅导工作.

头迎风面.

N=nvdtdS

单个分子的动量改变量为

Δp=mv(1-cos 2θ)

这里假设所有空气分子的质量均相同，m为每个空气分子的质量.空气分子总动量的改变量就等于单个分子的动量改变量乘以分子个数.联立以上各式，得此时的总动量变化

dp(θ)=2πR2nmv2sinθ·
cosθ(1-cos 2θ)dtdθ

(1)

则车体受迎风面空气阻力为

(2)

取车体运动方向为正方向，从式(2)可以看出运动球体的阻力系数ε1=-πR2.

2.2整流罩型面(Haack函数族，冯·卡门曲线)的空气阻力系数

冯·卡门曲线属于Haack族曲线中的一种.它描述了在给定某些参数(长度、直径或体积)的前提下，空气阻力最低的曲线.在中国航天工程中，长征二号F运载火箭的整流罩就应用了冯·卡门曲线.这里我们考虑一个截面半径R=1 m，长度L=2 m的冯·卡门曲线,如图2(a)所示.这时截面半径关于横坐标的函数可写为

(3)

与球面的流体阻力分析相似，取微分截面

dS=2πrdr

根据截面方程的导函数可以得到每一个x位置(x∈[0,2])的切线斜率，如图2(b)所示，进而可得切线与横轴的夹角.冯·卡门曲线式(3)的导数

(4)

图2

在x处取值，便可得到该位置散射角

θ(x)=acrtanr′(x)

图3 散射角以及单个分子碰撞的动量变化

假设单位体积空气分子数n，车体速度为v，在dt时间内，将有N个分子撞上该微分截面.

N=nvdt2πr(x)dr(x)

该时间里总动量的变化

总动量对时间的一阶导函数即为空气阻力

将各函数表达式代入，取车体运动方向为正方向，得到定积分项的具体函数值为-1.21280(单位：m2),即为冯·卡门曲线型车头的空气阻力系数，记作ε2.从中我们可以看到以冯·卡门曲线做为迎风面时的空气阻力大约为相同截面积的球体的三分之一.

图4 利用几何画板定积分功能求定积分值(阴影面积为定积分值)

2.3小结

讨论迎面碰撞，可以得到较为简单的阻力形式，空气阻力公式可以写成

F(ρ,v)=ερv2

(5)

在后文空气制动系统的设计中则需要讨论空气密度变化时的车体阻力变化.系统分析与大量实验测量给出的结果是：空气阻力关于速度的函数应为

图5 正比于速度平方阻力的速度-时间和位置-时间图像f(v)=αv+βv2

其中一次项为接触面与空气摩擦生热带来的阻力，高次项为碰撞带来的阻力.当速度足够大时，高次项的影响远远高于低次项.因此，本文章中可以将由于粘滞和热传导所带来的阻力忽略不计.工程中，由于粘滞和热传导带来的阻力需要更进一步的讨论，必要时需进行模拟实验测定以提高工程的准确性.

只在这种正比于速度平方的阻力影响下，物体的速度-时间图像与位置-时间图像如图5(a)与(b)所示.

3 对真空管道空气制动系统的初步设计

3.1制动区段的简介

如图6所示，在真空管道末端设立一个可独立密闭的减速区段，该区段通过填充空气提供减速时的阻力，通过改变充气孔空气流速来调节区段内空气密度，进而使阻力保持恒定.运行区段和制动区段的连接处通过密封性良好的阀门系统连接，使得该充气区段的气体不流入管道的真空部分中.

图6 制动区段简图

3.2气孔空气流速的计算

制动系统需要通过改变空气密度来控制阻力的恒定.引入了空气密度的变化，阻力就变成了关于密度、相对速度的二元函数式(5).

根据需要，令其中F为常量，即F=ma(m因车体材料不同而不同).

若考虑加速度a=5 m/s2，管道直径d=3 m，则减速区域理论长度和体积为

假设车体的质量为10 t，选择冯·卡门曲线作为车头形状，所需要的空气密度ρ是一个关于时间的函数

若设置n个气孔，则每个气孔的空气流速为

其中ρ0是气囊中空气的密度(假设充气不影响气囊中空气密度).将气孔呈辐射对称状均匀分布在管道上，可以减少充气时带来的车体震动.减速初期，空气流速应逐渐变大，从而使车体的加速度不存在突变现象.

3.3对动力系统的简要说明

动力系统可设置为上下两层超导磁悬浮轨道，如图7所示，双层轨道可提升车辆的稳定性.

1 朗道.理论物理学教程(第一卷)力学(第5版).北京：高等教育出版社,1987

2 张耀平.ETT:处在科技前沿的下一代运输方式.综合运输,2004(3):15～19

3 张晨爱,李瑞琴，梅瑛，等.卡门曲线回转体旋压工艺参数优选试验研究.机械设计与研究,2008,24(1):72～74

4 赵珊.冯·卡门曲线：妙曼身姿罩护天宫.中国航天报,2011-09-30(04)

图7 动力系统的截面简图

2017-01-16)

张铭浩(2001- )，男，在读高中生.