倪 峰(德清县高级中学 浙江 湖州 313200)

内壁粗糙碗中的动力学问题深度探究(二)

倪 峰
(德清县高级中学 浙江 湖州 313200)

为更深入探究内壁粗糙碗中的动力学问题，利用Mathematica数学软件计算和画出了物体逆时针运动的角度θ与运动时间t的图像关系和物体逆时针运动的角速度ω与运动时间t的图像关系，从图像关系可以准确得到在某时刻对应的角度、角速度、速度.

内壁粗糙的碗 竖直轨道 动力学 二阶非线性常微分方程 Mathematica

具体模型如图1所示，物体(可看成质点的物体)在内壁粗糙的碗中从A点向下逆时针下滑，物体与粗糙内壁的动摩擦因数为μ.

图1 情境图

从A点下滑到第一次速度为零的位置的整个过程，物体受到3个力的作用，分别是重力mg，摩擦力Ff，支持力FN.除重力外，其他两个力都是变力.在文献[1]中，笔者推导出物体逆时针运动的角速度ω与转过的角度θ的函数关系，即给出了ω与θ的解析解

并利用Excel画出了ω与θ的图像关系，可以得到物体在粗糙碗中从A点下滑做逆时针圆周运动到第一次速度为零这个过程，轨道上各个位置所对应的角速度和速度.那么，θ与t，ω与t之间又有什么关系呢？

1 小球在粗糙内壁逆时针下滑的θ与t及ω与t的解析解

根据推导得出的ω与θ的解析解

(1)

对式(1)两边积分得

(2)

式(2)比较复杂，笔算无法推导θ与t的解析解和ω与t的解析函数.

2 利用Mathematica数值解法画出θ-t和ω-t图像

取g=9.8 m/s2，r=1 m.分别画出μ=0，0.1，0.5，0.8时，θ与t，ω与t的图像，具体编程如下所示：

Quit

PlotStyle0={{Red,Thickness[0.015]},{Green,

Thickness[0.015]},{Black,Thickness[0.015]},{Blue,

Thickness[0.015]},{Purple,Dashing[{0.01,0.05,0.01}],Thickness[0.005]},{Green,Dashing[{0.01,

0.02,0.05}],Thickness[0.005]}};θf[μ_]:=

((1-2μ2)Sin[θ]+3μCos[θ]-3μExp[-2θ]))-1/2,{ θ,0, θθ}]

fig[μ_,style_]:=ParametricPlot[{Re[tjie[,θθ]],θθ},{θ,0,θf[μ]},PlotStyle→PlotStyle0[[style]],

AxesLabel→{ "t","θ"},BaseStyle→{Large},AxesStyle→Arrowheads[0.06],RotateLabel→True,PlotRange→All,AxesOrigin→{0,0}]

figA[μ_,style_]:=ParametricPlot[{Re[tjie

3μCos[θθ]-3μExp[-2μθθ]))1/2},{θθ,0, θf[μ]},

PlotStyle→PlotStyle0[[style]],AxesLabel→{"t","dθ/dt"},BaseStyle→{Large},AxesStyle→Arrowheads[0.06],RotateLabel→True,PlotRange→

All,AxesOrigin→{0,0}]

"μ=0,t[0]" →tjie[0,0.0001]"μ=0.1,t[0]" →tjie[0.1,0.0001]

"μ=0.5,t[0]" →tjie[0.5,0.0001]

"μ=0.8,t[0]" →tjie[0.8,0.0001]

"μ=0, θf"→f[0]

"μ=0.1, θf"→θf[0.1]

"μ=0.5, θf"→θf[0.5]

"μ=0.8, θf"→θf[0.8]

μ=0,t[0] →0.00451754

μ=0.1,t[0] →0.00451755

μ=0.5,t[0] →0.0045176

μ=0.8,t[0] →0.00451763-2.36667

μ=0, θf→3.14159

μ=0.1, θf→2.67214

μ=0.5, θf→1.72223

μ=0.8, θf→1.33753

写完倒数第二行程序后，按Shift+Enter运行，得到角度θ与时间t的图……