赵懂叶(西藏大学理学院 西藏 拉萨 850000)孟凡涛(拉萨市工业和信息化局 西藏 拉萨 850000)

MATLAB在波尔共振实验数据处理中的应用

赵懂叶
(西藏大学理学院 西藏 拉萨 850000)
孟凡涛
(拉萨市工业和信息化局 西藏 拉萨 850000)

介绍了如何利用MATLAB软件处理波尔共振实验数据的方法.

MATLAB软件 波尔共振 数据处理

波尔共振实验是大学物理实验中的一个重要内容，通过这个实验的学习可以掌握摆轮自由摆动时固有频率和振幅的测定方法、系统受到阻尼振动时阻尼系数的测定方法，系统受到周期性强迫力矩作用时的幅频特性和相频特性，还可以学习利用频闪法测定相位差的方法[1].但是，课堂上学生们通常是以手工的方式进行数据处理的，这样做除了可能会带来较大的误差[2]之外，也妨碍了更深入地理解实验数据的物理内涵.本文介绍了利用Matlab软件来帮助处理波尔共振实验数据的方法，通过计算机这个辅助手段的引入，使数据处理的精度和可靠性都得到了提高，极大地方便了实验教学.

1 实验原理

(1)

其中J为摆轮的转动惯量，-kθ为弹簧的弹性力矩，M0为强迫力矩，ω为强迫力矩圆频率.如果令

则式(1)可化为

(2)

式(2)的通解为

θ=θ1e-βtcos(ω0t+α)+θ2cos(ωt+φ)

(3)

其中式(3)的第一项和初始条件有关,由于含有随时间指数衰减的因子,因此经过一段时间后它的贡献消失;第二项表示强迫力矩对摆轮做功,向振动体传送能量,最后达到一个稳定的振动状态,振幅为

(4)

它与强迫力矩之间的相位差为

(5)

由式(4)、(5)可以看出,振幅θ2与相位差φ取决于m,频率ω,系统固有频率ω0和阻尼系数β等因素，而与初始状态无关.将θ2和φ对强迫力矩频率ω绘制曲线即可得到系统的幅频特性曲线和相频特性权限.由极值条件

2 实验结果与数据处理

以下均为笔者用某公司生产的ZKY-BG型波尔共振实验仪实际测量出的数据，和用Matlab (R2013a)运行出的结果.

2.1自由振荡时摆轮振幅与固有频率的关系

测量数据如表1所示(已将用Matlab计算出的结果填入了表中).

表1 摆轮自由振荡时的实验数据

其中振幅θ和周期T0为实际测量数据，固有频率ω0为用Matlab计算出的值，命令如下：

clear;T0=[1.5261,1.5259,1.5261,1.5264,

1.5266,1.5269,1.5272,1.5274,1.5277,1.5280,

1.5282,1.5285,1.5288,1.5286,1.5288,1.5290,

1.5288,1.5290,1.5293,1.5290,1.5293,1.5296,

1.5294,1.5296,1.5298,1.5296,1.5298,1.5301]

W0=2*pi*T0.^-1

运行结果为：

W0=

Columns 1 through 10

4.1172 4.1177 4.1172 4.1163 4.1158 4.1150 4.1142 4.1136 4.1128 4.1120 Columns 11 through 20 4.1115 4.1107 4.1099 4.1104 4.1099 4.1093 4.1099 4.1093 4.1085 4.1093 Columns 21 through 28 4.1085 4.1077 4.1083 4.1077 4.1072 4.1077 4.1072 4.1064 2.2阻尼系数β的测量

选择“阻尼1挡”数据如表2所示(已将用Matlab计算出的结果填入了表中).

表2 摆轮做阻尼振荡时的实验数据

阻尼振动时振幅衰减按指数规律变化：θ=θ0e-βt，可根据公式

求出

clear;x=[156,142,130,119,109];

y=[100,91,83,76,69];

log(x/y)=log(x)-log(y)

运行结果为：

log(x/y)=

0.4447 0.4450 0.4487 0.4484

0.4572

求平均值输入命令：

(0.4447+0.4450+0.4487+0.4484+

0.4572)/5

ans=

0.4488

求β值：

clear;beta=0.4488/(5*1.5286)

beta=

0.0587

2.3测定受迫震荡的幅频特性和相频特性曲线

摆轮做受迫震荡时的实验数据如表3所示(已将用Matlab计算出的结果填入了表中).

表3 摆轮做受迫震荡时的实验数据

2.3.1 计算频率比例

命令如下(“plbl” 表示频率比例)：

clear;T=[1.5775,1.5553,1.5431,1.5358,

1.5300,1.5264,1.5211,1.5147,1.5081,1.4969,

1.4779];

T0=[1.5298,1.5286,1.5277,1.5269,

1.5264,1.5261,1.5266,1.5272,1.5285,1.5296,

1.5301];

plbl=T0./T

运行结果：

plbl=

Columns 1 through 10

0.9698 0.9828 0.9900 0.9942 0.9976

0.9998 1.0036 1.0083 1.0135 1.0218

Column 11

1.0353

2.3.2 计算相位差

命令如下(“xwc”表示相位差)：

T=[1.5775,1.5553,1.5431,1.5358,1.5300,

1.5264,1.5211,1.5147,1.5081,1.4969,1.4779];

W0=[4.1072,4.1104,4.1128,4.1150,

4.1163,4.1172,4.1158,4.1142,4.1107,4.1077,

4.1064];

xwc=atan((2*0.0587*2*pi./T)./(W0.^2-

(2*pi./T).^2))*180./pi

运行结果：

xwc=

Columns 1 through 10

24.9561 39.5186 54.9278 67.8281

80.6603 89.1631 -75.7954 -60.0666

-46.7490 -33.4646

Column 11

-22.3805

2.3.3 测定幅频特性曲线

提取出“频率比例”和“振幅”两列，如表4所示，“频率比例”作为横坐标，“振幅”作为纵坐标，在Matlab中作出幅频特性曲线图形，命令如下(“A”表示振幅)：

plbl=[0.9698,0.9828,0.9900,0.9942,

0.9976,0.9998,1.0036,1.0083,1.0135,1.0218,

1.0353];

A=[66,101,128,144,152,154,149,132,110,

82,55];

p=polyfit(plbl,A,7)

T2=polyval(p,plbl);

plot(plbl,A,'*',plbl,T2,'r-'); 按“enter”键，即作出幅频特性曲线，图形如图1所示.

表4 频率比例和振幅

图1 幅频特性曲线

2.3.4 测定相频特性曲线

提取出“频率比例”和“相位差”两列，如表5所示，“频率比例”作为横坐标，“相位差”作为纵坐标，在Matlab中作出相频特性曲线图形，命令如下(“plbl”表示频率比例，“xwc”表示相位差)：

plbl=[0.9698,0.9828,0.9900,0.9942,

0.9976,0.9998,1.0036,1.0083,1.0135,1.0218,

1.0353];

xwc=[-26,-40,-55,-68,-81,-89,

-104,-120,-133,-146,-158];

p=polyfit(plbl,xwc,7)

T2=polyval(p,plbl);

plot(plbl,xwc,'*',plbl,T2,'r-'); 按“enter”键，即作出相频特性曲线，图形如图2所示.

表5 频率比例和相位差计算值

图2 相频特性曲线

3 结论

本文以波尔共振实验为例，用Matlab软件对数据进行了处理，求出了阻尼系数β并画出了幅频特性曲线和相频特性曲线，得到的计算结果比人工计算[3]结果更精确且更为省时省力.

数据处理是整个实验的重要组成部分，有时因为实验的复杂性，导致数据处理的工作量极大，这就需要我们运用现代化的工具进行处理，Matlab具有强大的数学运算、图形处理功能，可在实验数据及图形处理方面发挥较大的优势，既能避免学生手动计算可能出现的错误，又简单易学，绝大多数学生都可以轻松掌握，同时，数据处理方法的多元化，在学科结合、创新意识及兴趣培养上具有重要意义.

1 张兆奎，缪连元，张立.大学物理实验(第3版). 北京：高等教育出版社，2008.225～231

2 全红娟，潘渊，朱婧，等.波尔共振实验的不确定度.大学物理实验，2014，27(5):100～102

3 李越洋，刘存海，张勇.受迫振动特性研究.化学工程与装备，2008(7):19～26

ApplicationonMATLABinDateProcessingofBohrResonanceExperiment

Zhao Dongye
(College of Science, Tibet University, Tibet, Lhasa 850000)
Meng Fantao
(Bureau of industry and information technology of Lhasa, Tibet, Lhasa 850000)

This paper introduces how to use Matlab software to deal with Bohr resonance test data.

Matlab software; Boer resonance; data processing

2017-06-01)

赵懂叶(1985- )，女，硕士，助理实验师，主要从事光学实验研究.