双 叶,尹红萍

(内蒙古民族大学 数学学院,内蒙古 通辽 028043)

关于(α,m)凸函数的几个积分不等式及其应用

双 叶,尹红萍

(内蒙古民族大学 数学学院,内蒙古 通辽 028043)

研究了(α,m)-凸函数的一些性质,并利用Hölder不等式得到了一些新的(α,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式,最后给出了这些不等式在特殊平均值中的应用.

(α,m)-凸函数；Hermite-Hadamard型不等式；Hölder不等式

凸函数的研究非常活跃,并且它的研究具有重要的理论意义,它的应用也非常广泛.本文研究了(α,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等,得到了几个结果,并给出特殊平均值中的应用.首先介绍一些与之相关的基本知识和基本概念.

设f∶I⊆R→R是定义在I上的凸函数.a,b∈I,a

(1)

下面引入凸函数的定义:

定义1[1]设f∶I⊆R→R是I上的函数,若对任意的x,y∈I,λ∈[0，1]，不等式：

f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),

(2)

成立,则称f是I上的凸函数.

1985年G.Toader首先提出了m凸函数的定义.

定义2[2]设f∶[0，b]→R(b>0),m∈(0,1],若对任意的x,y∈(0,b],λ∈[0，1]，有:

f(λx+m(1-λ)y)≤λf(x)+m(1-λ)f(y),

(3)

则称f(x)为[0，b]上的m-凸函数.

1993年,V.G.Mihesan给出了(α,m)-凸函数的定义.

定义3[3]设f∶[0，b]→R(b>0),(α，m∈(0,1]2,若对任意的x,y∈(0,b],λ∈[0,1]，有:

f(λx+m(1-λ)y)≤λαf(x)+m(1-λα)f(y)

(4)

则称f(x)为[0，b]上的(α,m)凸函数.

文献[4-9]得到了上面凸函数的相关定理.

定理1[4]设f∶I∘⊂R→R为I∘上的可微映射,a,b∈I∘,a

(5)

定理2[5]设f∶I→R为I上的可微函数,f′∈L[a,b],0≤a

(6)

定理3[6]设f∶I→R为I上的可微函数,f′∈L[a,b],0≤a

(7)

为了证明定理需要下面的引理.

1 有关引理

引理1[7]设f∶I⊂R→R是I∘上的可微映射,a,b∈I且a

2 (α,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

现在建立几个(α,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式.

证毕．

推论1 在定理4的条件下,若时α=m=1,则有下面不等式成立:

证明 由引理1和Hölder不等式,有:

和

因此有:

证毕．

推论2 在定理5的条件下,若α=m=1时,则有下面不等式成立:

证明 由引理1和Hölder不等式,有:

因此,有:

证毕.

推论3 在定理6的条件下,若q=1时,则有下面不等式成立:

推论4 在定理6……