函数连续、可导与可微之间的关系

2017-09-11刘春燕

速读·下旬 2017年9期

关键词：函数

摘要：本文分别就一元函数与二元函数连续、可导与可微之间的关系进行梳理，并给出相应的定理、实例及证明，旨在帮学生理清函数连续、可导与可微之间的关系。

关键词：函数；连续；可导；可微；一元；二元

高等数学中的一道常考题为：二元函数

[f（x，y）xyx2+y2（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]在点（0，0）处是否连续，偏导数是否存在？通常以选择题的形式出现，但是每次考查，得分率一直都不理想的原因在于学生没有理清函数连续、可导与可微之间的关系。本文旨在帮学生理清函数连续、可导与可微之间的关系。

一、一元函数连续、可导与可微之间的关系

1.一元函数连续是可导的必要非充分条件，即函数可导一定连续，但函数连续却不一定可导。

定理1【1】如果函数y=f（x）在x0处可导，则f（x）在x0处必连续。

证明：因为函数y=f（x）在x0处可导，即[limVx→0VyVx=A]，由具有极限的变量与无穷小的关系知：[VyVx=A+?]（其中[?]为当[Vy0]时的无穷小），即Vy=AVx+[?Vx]，所以[limvx→0VY=0]，即f（x）在x0处连续。

例1[fx=x]在x=0处连续却不可导。

证明：因为[limx→0fx=limx→0x=0]，[limx→0+fx=limx→0+x=0]，[f0=0=0]，即[limx→0-fx=limx→0+x=f（0）]，所以[fx=x]在x=0处连续。又因为

[f'-0=limh→0-f0+h-f（0）h=limh→0-0+h-0h=limh→0--hh=-1]，

[f'+0=limh→0+f0+h-f（0）h=limh→0+0+h-0h=limh→0+hh=1]，[f'-0≠f'+0]，

所以[fx=x]在x=0处不可导。即[fx=x]在x=0处连续却不可导。

2.一元函数可微与可导是等价的。

定理2【1】函数y=f（x）在x0处可微的充要条件是函数f（x）在x0处可导。

证明：（必要性）因为y=f（x）在x0处可微，则Vy=AVx+0（Vx），即[VyVx=A+0（Vx）Vx]，于是，当Vx→0时，[A=limVx→0VyVxf（x0）]。

（充分性）若函数y=f（x）在x0处可导，则[limVx→0VyVx=f'（x0）]存在，根据极限与无穷小的关系，则[VyVx=f'x0+?]（其中[?]为当Vx→0时的无穷小），即vy=f（x0）vx+[?VX]，这里[f'（x0）]是与[Vx]无关的常数，而[?VX]是Vx→0时的高阶无穷小，故函数y=f（x）在x0处可微。

3.一元函数可微与可导是等价的，顯然，一元函数连续也是可微的必要非充分条件。

二、二元函数连续、可导与可微之间的关系

1.二元函数连续与可导之间没有必然联系。

例2二元函数[f（x，y）xyx2+y2（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]在点（0，0）处不连续，但偏导数存在。

证明：因为当动点P（x，y）沿路径y=kx趋于（0，0）点时，有[limx→0y→0xyx2+y2=limx→0kx2x2+（kx）2=limx→0k1+k2]，当k取不同值时，函数趋于不同的常数，所以该函数当（x，y）→（0，0）时极限不存在，从而f（x，y）在点（0，0）处不连续，

因为[fx0，0=limVx→0f0+Vx，0-f（0，0）Vx=0]，

[fy0，0=limVy→0f0，0+Vy-f（0，0）Vy=0]，

所以f（x，y）在点（0，0）处偏导数存在。

例3二元函数[fx，y=sinx2+y2]在点（0，0）处连续，但偏导数不存在。

证明：因为[limx→0y→0fx，y=limx→0y→0sinx2+y2=0=f（0，0）]，所以[fx，y=sinx2+y2]在点（0，0）处连续。

因为[fx0，0=limVx→0f0+Vx，0-f（0，0）Vx=limVx→0sinVxVx]不存在，

[fy0，0=limVy→0f0，0+Vy-f（0，0）Vy=limVy→0sinVyVy]也不存在，所以f（x，y）在点（0，0）处偏导数不存在。

2.二元函数可微是可导的充分不必要条件。

定理3【2】若函数z=f（x，y）在P（x0，y0）处可微分，则函数在P（x0，y0）处的偏导数[?z?x]和[?z?y]存在，且函数z=f（x，y）在P（x0，y0）处的全微分为：dz=fx（x0，y0）Vx+fy（x0，y0）Vy=fx（x0，y0）dx+fy（x0，y0）dy。

证明：因为函数z=f（x，y）在P（x0，y0）处可微分，由全微分的定义知，Vz=f（x0+Vx，y0+Vy）-f（x0，y0）=AVx+BVy+0（ρ），其中ρ=[（Vx）2+（Vy）2]。当Vy=0时，Vz=f（x0+Vx，y0）-f（x0，y0）=Vxz=AVx+0（[Vx]），从而有[limVx→0VxzVz=fxx0，y0=A]，

同理，当[Vx=0]时，Vz=f（x0，y0+Vy）-f（x0，y0）=Vyz=BVyx+0（[Vy]），从而有[limVy→0VyzVy=fxx0，y0=B]。

所以函数z=f（x，y）在P（x0，y0）处的全微分dz=fx（x0，y0）Vx+fy（x0，y0）Vy=fx（x0，y0）dx+fy（x0，y0）dy。

例4函数[fx，y=xyx2+y2（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]在点（0，0）处可导，但却不可微。endprint

证明：因为[fx0，0=limVx→0f0+Vx，0-f（0，0）Vx=0]，

[fy0，0=limVy→0f0，0+Vy-f（0，0）Vy=0]，所以f（x，y）在点（0，0）处可导。

因为

[Vz-dz=f0+Vx，0+Vy-f0，0-fx0，0Vx+fy0，0Vy=VxVy（Vx）2+（Vy）2]

在ρ=[（Vx）2+（Vy）2]→0的过程中，当沿着路径y=kx趋于（0，0）点时，[Vz-dzρ=VxVy（Vx）2+（Vy）2（Vx）2+（Vy）2=VxVy（Vx）2+（Vy）2=k（Vx）2Vx2（1+k2）=k1+k2]不趋于0，即[Vz-dz]不是[ρ]的高阶无穷小，从而由微分的定义知函数在点（0，0）处不可微。

3.二元函数可微是连续的充分不必要条件。

定理4：若函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分，则函数z=f（x，y）在点（x，y）处连续。

证明：因为函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分，所以[Vz=AVx+BVy+oρ，ρ=（Vx）2+（Vy）2，limρ→0Vz=0][limVx→0Vy→0f（x+Vx，y+Vy）=limρ→0fx，y+Vz=f（x，y）]。即函数z=f（x，y）在点（x，y）处连续。

例5二元函数[fx，y=sinx2+y2]在点（0，0）处连续，但在点（0，0）处偏导数不存在，也不可微。

证明由例3可知[fx，y=sinx2+y2]在点（0，0）处连续，但偏导数不存在。由定理3可知，偏导数不存在，则不可微。

4.二元函数的偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。

定理5【2】若二元函数z=f（x，y）的偏导数[?z?x，?z?y]在点（x，y）处连续，则函数z=f（x，y）在该点处可微分。

证明：

[vz=fx+Vx，y+Vy-fx，y=fx+Vx，y+Vy-fx，y+Vy+fx，y+Vy-fx，y]，

由拉格朗日中值定理，有

[fx+Vx，y+Vy-fx，y+Vy=fxx+θ1Vx，y+VyVx，（0<θ1<1）]。再由[fx（x，y）]在点（x，y）处的连续性及极限与无穷小的关系知[limVx→0Vy→0fxx+θ1Vx，y+Vy=fx（x，y）]，则[fxx+θ1Vx，y+Vy=fxx，y+ε1]，其中[ε1]是[Vx，Vy]的函数，且当[Vx→0，Vy→0]時，[ε1→0]。因此，[fxx+θ1Vx，y+VyVx=fxx，yVx+ε1Vx]。

同理有[fxx，y+Vy-fx，y=fxx，yVy+ε1Vy]，其中，当[Vy→0]时，于是[Vz=fxx，yVx+fxx，yVy+ε2Vy]，因为

[ε1Vx+ε2Vyρ≤ε1+ε2ρ→0→0，ρ=（Vx）2+（Vy）2]。故函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分。

例7二元函数[fx，y=（x2+y2sin1x2+y2）（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]

在点[（0，0）]处可微，但偏导数不连续。

证明：因为

[fx0，0=limVx→0f0+Vx，0-f（0，0）Vx=limVx→0（Vx）2sin1（Vx）2Vx=limVx→0Vxsin1（Vx）2=0]

[ fy0，0=limVy→0f0，0+Vy-f（0，0）Vy=limVy→0（Vy）2sin1（Vy）2Vy=limVy→0Vysin1（Vy）2=0]

[Vz-fx0，0Vx+fy0，0Vy=f0+Vx，0+Vy-f0，0=ρ2sin1ρ2=o（ρ）]

其中[ρ=（Vx）2+（Vy）2]。所以f（x，y）在点[0，0]处可微。

因为，当[（x，y）≠（0，0）]时

[fxx，y=2xsin1x2+y2+（x2+yx）cos1x2+y2×-1（x2+y2）2×2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2]

即[fxx，y=2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]