宋辉武 于 冰

(1. 鄂尔多斯市第一中学,内蒙古 鄂尔多斯 017010; 2. 东北师范大学物理学院,吉林 长春 130024)

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利用最小角定理巧解物理难题

宋辉武1于 冰2

(1. 鄂尔多斯市第一中学,内蒙古 鄂尔多斯 017010; 2. 东北师范大学物理学院,吉林 长春 130024)

针对贵刊2017年第2期刊发的一篇题为“一道力学题的两种数理巧解”的论文进行拓展研究,应用数学上的最小角定理进行了巧妙地求解,以期引起广大的物理教师进一步挖掘这一定理在物理学上的使用价值.

最小角定理;静摩擦力

贵刊2017年第2期发表了李力老师撰写的一篇题为“一道力学题的两种数理巧解”的论文,读罢该文受益颇深.在此笔者谈谈自己对这个问题的深入思考,与各位同行交流探讨.

图1

先介绍一些数学知识.最小角定理也叫折叠角公式或“爪子”定理.根据空间角的余弦公式得出:斜线角(线—线角)θ,线面角(斜线和平面的夹角)θ1,射影交角(正射影与斜射影夹角)θ2,它们三者之间存在一个余弦关系cosθ=cosθ1cosθ2,如图1所示,直线OA是平面α外的一条斜线,OB是OA在平面α内的(正)射影,直线OC(也叫斜射影)也在平面α内,AB垂直于平面α,AB⊥OC,BC⊥OC,因此一定有AC⊥OC,设∠AOC=θ,∠AOB=θ1,∠BOC=θ2,可得OC=OBcosθ2=OAcosθ1cosθ2,又因为OC=OAcosθ,因此可得cosθ=cosθ1cosθ2,由此式也可知cosθ≤cosθ1,即θ1≤θ,因此θ1是这条斜线与这个平面内任一条直线所成的角中最小的角,此即为最小角定理的名字由来.就是说如果我们知道两个角的余弦值则可以求第三个,因此也形象地把这个定理叫做“三余弦定理”,这个定理在数学的立体几何部分应用较多,但是在高中……