钱耀泉

摘 要：在日常的教学中，有些例题颇具探讨价值，对学生也很有启发性，但多数时候都在我们不经意间被忽视了。笔者尝试让学生对一道课例进行思考，以提升学生的解题能力和思维水平，并引导学生进行归纳总结，然后再进行变式训练。本文最后对解题教学进行了反思。

关键词：解题教学；三点定圆；一题多解；数学思想；数学方法

在日常的教学中，有些例题颇具探讨价值，对学生也很有启发性，但多数时候都在我们不经意间被忽视了，譬如本文将探究的一道课例。

一、课例重现

在北师大版《数学（基础模块）下册》第八章“直线和圆的方程”中第7.3节“圆的方程的确定”，如例9：求过三点A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圆的方程，并指出它的圆心和半径。

课本给出的解法如下：

点评：由于解Ⅰ和解Ⅱ所设出圆的方程不一样，得到的方程组也不一样，但是实质上两种解法都运用了“一设、二代、三还原”的待定系数法进行解题。

“三点定圆”在我们的教学中既是重点，也是难点，在专业课中更有重要的应用价值。然而，笔者发现多数学生都未能很好地掌握上述两种解法。即便是能勉强掌握的学生也觉得该题很难。主要原因是学生在初中階段时，教学大纲对三元一次方程组的要求不高，也非中考重点，据学生反映，他们多数的初中老师都是一带而过地处理该知识点。据笔者的教学经验：越是学生感到困难的题，其解法越是丰富多彩。因此，笔者决定借此契机尝试引导学生对该例题进行解题探究，以提升学生的解题能力和思维水平。

二、解题探究

既然学生觉得用三元一次方程组进行解题比较困难，于是笔者在课堂上对学生提出新问题：能否用二元一次方程组来解该题呢？有些学生自行思考，有些学生举手讨教，然后笔者给出提示：“在解法Ⅰ和解Ⅱ中均有3个未知数，若我们根据圆的轨迹方程定义，可将三元方程组变成二元方程组。”很快便有学生分享了他们的解法。

解法点评：本解法借用了圆的轨迹方程的定义，设出圆心后，根据半径相等，AO`=BO`=CO`，从而将三元一次方程组改为二元一次方程组求出圆心，从而得解。

临近下课，笔者给学生布置课后思考题：“请用你熟悉的知识，充分挖掘题设的条件，思考例题9的新解法，以学习小组为单位进行统计，解法越多，本次作业的得分越高。”学生的热情马上被点燃，下课铃响后还在纷纷积极讨论解题。各个学习小组经笔者的适时引导或适当提示，学生们又得出了以下五种新解法：

解法点评：该生运用三点定圆心的作图法进行解题，其实质为垂径定理的运用——线段AB、AC的中垂线l1、l2必垂直与弦AB、AC，且平分该两弦，由垂径定理“知二推三”可得，两中垂线l1、l2必经过圆心，其交点即为圆心O`，从而得解。说明学生对圆的作图掌握较好，并能结合直线的知识综合解题。

解法点评：无独有偶，本解法的实质同样是运用了垂径定理的垂直结论，并结合勾股定理列得方程组求出圆心，从而得解。勾股定理是学生非常熟悉，并经常使用的定理，因此该解法也是学生易于接受的解法。

解法点评：本解法勇于尝试，先算出三点之间两两距离，通过勾股逆定理得知三点连线恰好构成直角三角形，再由“直角对直径”定理得出BC边为直径，从而较快速地求出圆心、半径，从而得解。本解法反映了学生对题设的大胆猜想，并进行了有效的验证，不失为一个优美的解法！

解法点评：本解法运用了向量法巧妙地进行解题，将复杂的计算变得简单易算，避开了方程组的繁琐计算，直接用两个一元一次方程解出圆心坐标，从而得解。该解法反映了学生对向量法的娴熟运用，思维独特，化繁为简！

解法点评：本解法摆脱了原题设的束缚，大胆构造，将圆上的三点，反过来变为了三个等圆的圆心，灵活地运用了逆向思维进行思考，求出三圆的交点即为原来的圆心，从而得解。反映了学生对圆的定义理解透彻，独辟蹊径，很有创意！

三、解题探究小结

在笔者引发学生对课例的解题探究中，可谓是一石激起千层浪。学生或从作图法入手，或从垂径定理思考，或从勾股定理逆定理推演，或从向量法妙解，或从逆向思维探索……各个解法无不闪烁着学生睿智的光芒！非常精彩！

笔者将学生的解题探索一一展示给全班同学赏析学习，并让他们进行归纳反思。学生在教师的引导下对“三点定圆”问题进行了如下小结：

（一）解题知识方面：我们可运用圆的一般方程及标准方程、两点距离及中点坐标公式、方程或方程组、圆的轨迹方程定义、垂径定理、中垂线的定义、勾股定理及其逆定理、直线的点斜式方程、两垂直直线的斜率关系、向量的加法及数乘等知识进行着手；

（二）解题思想方面：我们可运用函数与方程（组）的思想、数形结合的思想、化归的思想、逆向思维等思想进行探索；

（三）解题方法方面：我们可从定义法、待定系数法、作图法、向量法、构造法等方法进行思考；

（四）解题步骤方面：除了待定系数法外，我们在解决“三点定圆”问题时，关键在于求出圆心坐标，然后都是根据两点距离或向量模公式求出半径r，从而得解。

四、课例拓展——变式训练

三点定圆的题设本质：不在同一直线上的三点确定一个平面。其推论有：一条直线及直线外一点可以确定一个平面；两条相交直线可以确定一个平面。笔者依据“从一般到特殊”的演绎推理原则，更改了题设条件，再次对学生的思维进行提升变式训练：

（1）如图7，已知某圆上一点A（2，2）的切线方程l：2x-y-2=0，及圆上另一点B（6，2），求该圆的方程。

思维点拨：本题可由点A与切线方程，得出其法线方程，则它必过圆心O`，以此设出一元的圆心坐标（a，f（a）），再根据相切有d=r，即d=O`B，从而得解。该题综合运用了直线的斜率、点斜式方程、点线距离等进行解题。

（2）如图8，已知圆上三点坐标分别为O（0，0）、B（0，2）、C（6，0），求该圆的方程。

思维点拨：根据前面学生的解法分享，本题依然可以运用本文提及的8种解法进行解题。然而，本题中OB、OC的连线恰好分别为x轴的垂直线与平行线。据本文的解Ⅳ，由垂径定理，圆心必在OB、OC的中垂线的交点位置，则可直接口算出圆心坐标为O`（3，1），从而得解。虽然该解法非常便捷，可以秒算出圆心，然在用法上有其局限性。

五、解题教学反思

（一）须务实基础。笔者认为在解题方法的探索中，知识是根，思想是枝叶，方法技巧是花。教师要先让学生务实基础，只有根基扎实了，才能茁壮健康成长。

（二）重视数学思想与方法的渗透。解题探究的目的并不是为了得出答案，更重要的是引导学生学习其中的数学思想与方法，锻炼其思维。我们则需要在日常教学中要不断对学生进行渗透，并引导他们进行及时归纳反思所学，构建并完善学生的知识与技能体系。

（三）因势利导。虽然条条大路通罗马，但是教师不能盲目地拔高，我们应该根据学生实际的基础水平及其思维方向进行点拨。因势利导，顺势而为，则会事半功倍！

（四）呵护学生的智慧火花。即使对数学有浓厚兴趣的学生有时遇到难题也难免会产生畏难情绪。这时需要教师对学生的努力给予及时的肯定、积极的鼓励。

综上，这是笔者解题教学实践中长期以来坚持的做法，相信这与本人所辅导的学生参加每一届的广州市数学竞赛都荣获一等奖的殊荣存在一定的因果关联，在此抛砖引玉。最后借数学家华罗庚先生的格言共勉：“天才始于积累，聪明在于勤奋。”

参考文献：

[1]曹一鸣，程旷.数学（基础模块）下册[M].北京师范大学出版社，2011：106.

[2]汪江松.数学思想方法[M].厦门大学出版社，2009：8.1.endprint