林丽华，曾剑守

（三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004）

基于统计收敛意义下的Stolz定理的研究

林丽华，曾剑守

（三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004）

利用数列的经典收敛与统计收敛的极限理论，给出了在经典收敛意义下的Stolz定理逆命题成立的条件，并得出了在统计收敛意义下数列｝数列敛散性的关系。

经典收敛；统计收敛；Stolz定理

1951年，H.Fast[1]给出了统计收敛的定义之后，它就成为人们研究的热点问题，不断有学者对统计收敛做出进一步的研究和探讨，出现了一系列相关的文章。经过半个多世纪的发展，统计收敛已经形成了一个庞大的理论体系，各种各样的统计收敛多达几十种。如1985年，J.Fridy[2]定义了与通常Cauchy列平行的统计Cauchy列和统计有界序列。1988年，J.Maddox[3]将统计收敛的研究领域进一步推广到局部凸空间中。J.Connor，M.ganichew和V.kadets[4]在Bancah空间中类似地给出了统计收敛与弱统计收敛的定义。M.Mursaleen和H.H.O.Edely[5]介绍了双序列统计收敛的概念。2005年，Richard，Pattersont和Ekrem Savas[6]介绍了双序列双Lacunary统计收敛等等。蓝永艺研究了Banach空间中的统计收敛，得到了有界序列统计收敛必平均收敛，统计收敛必μ-统计收敛等结论[7]。刘军霞等研究了随机变量的收敛性，给出了统计收敛a.s.、统计依概率收敛概念[8]。程立新等研究了统计收敛的测度理论，证明了每个有限可加概率测度都可以唯一的分解为一个可数可加概率测度和一个统计测度，并证明了每个经典统计测度都是连续型的等结论[9]。巩增泰、张璐引入模糊数值函数统计收敛，一致统计收敛，等度统计收敛等概念，并讨论了它们之间的相互关系以及其水平截函数之间的关系；以及得到测度有限的情况下，模糊数值函数统计收敛的Egorov定理和勒贝格定理[10]。程立新与鲍玲鑫给出了统计测度与统计收敛中最为一般的收敛形式——理想收敛之间的关系[11]。林丽华与鲍玲鑫利用几何泛函分析和Banach空间理论，讨论了Banach空间中统计测度收敛与超滤子收敛的关系[12]。鲍铃鑫与官明友针对Lacunary统计收敛与经典统计收敛的相容性问题,利用统计测度理论给出了Lacunary统计收敛与经典统计收敛等价的充要条件[13]。虽然统计收敛已经得到了广泛的讨论和研究，但统计收敛理论同经典收敛理论相比，其基本理论尚未完全建立，有许多内容值得进一步去研究。

在经典收敛中，Stolz定理在研究数列极限的存在性与求极限这两个核心问题，起着很大的作用，张丽娅通过几个实例介绍了如何利用Stolz定理求解一些特殊的极限问题，并指了利用Stolz定理时注意的条件[14]；黄涛、申方给出并证明了Stolz定理的推广形式，并说明了推广形式的Stolz定理在证明L'Hospital法则、求待定型数列的极限、研究具有非线性递推关系数列的渐近性等方面的应用[15]；王少英、刘文菡研究了Stolz定理的证明方法，并将Stolz定理推广到函数极限的形式[16]。因此，如果在统计收敛意义下也有相应的Stolz定理，那么将为讨论数列是否统计收敛提供了一种新方法，因此，本文研究Stolz定理在统计收敛中的推广。

1 统计收敛定义及性质

为了行文与读者阅读的方便，先给出本文中常见的符号说明。

A#表示集合A的势；N+表示正整数集；｛xnk｝表示数列 ｛xn｝的子列。定义1[1]对于给定数列｛xn｝，l是一个常数。 如果对于∀ε＞0，都有

则称数列xn｛｝统计收敛于l，记为，有时记为 xn→l（s） （n→∞）。

下面给出统计无穷大量的概念。

定义2对于给定数列xn｛｝，如果对∀G＞0，都有

则称数列xn｛｝统计无穷大，记为

可知对∀ε＞0，∃N∈N+,当 n＞N 时，有| xn-l|＜ε，从而即证毕。

定理 2[17]数列{xn}统计收敛于 a 当且仅当存在 K={k1，k2，…，kn，…}⊂N+使得

容易证明，对于统计收敛有着与经典收敛相类似的四则运算性质，即

定理3[17]若则，其中 b≠0。

下面给出经典收敛中的Stolz定理。

2 Stolz定理

定理4（Stolz定理）[18]若yn｛｝是严格单调增加的正无穷大量，且（其中l可以为有限数,+∞ 与-∞），则

对Stolz定理的两点说明。

注意到Stolz定理的逆命题不成立，例如取xn（-1)n，yn=n，则yn｛｝是严格单调增加的正无穷大量，且，但结合数列yn｛｝的特征，补充数列｝是一有界数列的条件，则由的结论，即定理5。

定理5设yn｛｝是严格单调增加的正无穷大量，且存在一个N0∈N+，使得当n＞N0时，有

因此

将上式同时除以yn-yn-1，可得

由已知条件当n＞N0时，有，从而，当 n＞N0时，有，于是，取 N=max{N0，N1}∈N+，当 n＞N 时，有

3 统计收敛意义下的 Stolz定理

由上述的定理5（Stolz定理），结合定义2容易得出如下结论。

定理6设yn｛｝是严格单调增加的正无穷大量，且（其中l可以为有限数,+∞与

于是由定理 2 知，存在 N*={n1，n2，n3，…}⊂N+使得，其中。因此，对∀ε＞0，存在 nN⊂N*，使∀nk＞nN，有成立，因此可得，

由于｛yn｝是严格单调增加的正无穷大量,因此｛ynk｝也是严格单调增加的正无穷大量，此时不妨设 ynN＞0，于是

将上式不两边同除以ynk，得到

又 ｛ynk｝是严格单调增加的正无穷大量，而yn是数列 ｛ynk｝中一确定的项，故当k充分大时，有N从而

同理，由 ｛ynk｝是严格单调增加的正无穷大量，xn是数列 ｛xnk｝中一确定的项，故当k充分大时，有从而有

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这就证明了，存在 N*={n1，n2，n3，…}⊂N+，使得

因此∀ε＞0，有

即有

注意到在统计收敛意义下，Stolz定理的逆命题也是不成立的。如取数列：

定理8设yn｛｝是严格单调增加的正无穷大量，且存在一个N0∈N+,使得当n＞N0时，有，其中 M∈（0,1），则当（其中 l可以为有限数，+∞ 与-∞），有

又由已知条件当n＞N0时，有，M∈（0,1），从而，当 n＞N0时，有

于是，取 N=max{N0，nN}∈N+，当 n＞N 时，有

这就证明了，存在 N*={n1，n2，n3，…}⊂N+，使得

［1］ FAST H．Surle convergence statistical［J］．Colloqium Mathematicum，1951，2（3）：241－244．

［2］ FRIDY J．On statisrical convergence［J］．Analysis，1985，5（4）：301－313．

［3］ MADDOX I J．Sequence spaces defined by a modulus［J］．Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1986，100（1）：161－166．

［4］ CONNOR J，GANICHEV M，KADETS V．A characterization of banach spaces with separable duals via weak statisrical contergencc［J］．Jour Math Ana Appl，2000，244（1）：251－261．

［5］ MURSALEEN M，EDELY H H O．Statistical convergence of double sequences［J］．J Math Anal Appl，2003，288（1）：223－231．

［6］ RICHARD，PATTERSON，EKREM SAVAS．Lacunary statistical convergence of double sequences［J］．Mathematical Communications，2005，10（1）：55－61．

［7］ 蓝永艺．Banach 空间中的统计收敛［D］．厦门：厦门大学，2006．

［8］ 刘军霞，刘卫军，林正严．随机变量的收敛性［J］．浙江大学学报（自然科学版），2007，34（2）：132－135．

［9］ 程立新，蓝永艺，林国琛，等．统计收敛的测度理论［J］．中国科学，2008，38（4）：450－468．

［10］ 巩增泰，张璐．模糊数值函数的统计收敛一致统计收敛及等度统计收敛［J］．云南大学学报，2011，33（4）：383－396．

［11］ BAOLX，CHENGLX．Onstatixticalmeasuretheory［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2013，407：413－424．

［12］ 林丽华，鲍玲鑫．统计收敛与超滤子收敛的关系［J］．厦门大学学报（自然科学版），2014，53（4）：455－458．

［13］ 鲍玲鑫，官明友．统计收敛与 Lacunary 统计收敛［J］．福州大学学报（自然科学版），2015，43（6）：742－745．

［14］ 张丽娅．Stolz 定理的巧用［J］．天水师范学院学报，2008，28（2）：4－5．

［15］ 黄涛，申方．Stolz 定理的相关问题及应用探讨［J］．天中学刊，2008，23（5）：12－15．

［16］ 王少英，刘文菡．Stolz 定理的证明和推广［J］．新乡学院学报，2009，26（4）：11－12．

［17］ SALAT T．On statistically convergent sequences of real numbers［J］．Math Slovaca，1980，30（2）：139－150．

［18］ 陈纪修，於崇华，金路．数学分析［M］．北京：高等教育出版社，2004：34－51．

（责任编辑：朱联九）

Study of the Stolz Theorem on the Statistical Convergence

LIN Li-hua,ZENG Jian-shou
(School of Information Engineering,Sanming University,Sanming 365004,China）

By using the limit theory of classical convergence and statistical convergence,the condition of converse proposition about Stolz theorem in classical convergence is given,and the relationship of convergence and divergence between｝in the statistical convergence is obtained.

classical convergence；statistical convergence； stolz theorem

O171

A

1673-4343（2017）04-0001-07

10．14098 ／j．cn35－1288 ／z．2017．04．001

2017-02-08

三明学院科研基金项目（B08231Q）；三明学院教改项目（L1208/G)

林丽华，女，福建沙县人，副教授。主要研究方向：Banach空间理论。