王寒山

(上海市向明中学,上海 200020)

投影法求异面直线夹角

王寒山

(上海市向明中学,上海 200020)

在学习异面直线夹角时，有同学提出问题“已知两异面直线在同一平面内的投影垂直，那么是否可以很快算出来异面直线所成角？”．笔者研究了如何利用两异面直线在同一平面内摄影的夹角，来计算两异面直线夹角问题，得到了一个有趣的公式．

投影；平面；直线

首先我们先来介绍一下三面角O-ABC的余弦公式(图1),此处不做证明：cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC+cosθsin∠AOBsin∠AOC,其中θ为二面角C-OA-B的平面角.

我们把两异面直线平移到同一个点 ，得到如图2形状，其中异面直线所成角是∠AOB=θ,OC，OD分别是OA,OB在平面内的投影线，其有向角(与角∠AOB开口同向)为∠COD=α(0≤α≤π)，此时面AOC⊥面DOC,面BOD⊥面DOC.令OB,OA与平面所成的线面角为∠BOD=θ1,∠AOC=θ2,过B作BD⊥OD于点D，过D作DC⊥OC于点C，连接BC.

特别地，①当两直线投影相互垂直时，两异面直线的夹角的余弦值cosθ=sinθ1·sinθ2.②当OA与OC重合时，就是我们非常熟悉的cosθ=cosα·cosθ1.③当OA与OC重合并且OB与OD重合时，就是我们常用的平移法cosθ=cosα.④当OC变为一个点时，也就是OA⊥面COD，此时cosθ=sinθ2，这是显然结论.

由此可见该公式包含了我们所有常见的求异面直线夹角的方法.

下面我们来看几个例题，对此结论加以熟悉和应用:

例1 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值.

分析与解答 我们取面AC作为投影面，并且平移直线到面的同侧，容易知道AM,CN的射影

例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BE=EB1且CF=2FD．求异面直线AE与D1F所成的角的余弦值.

评析 本题若是平移到面AC异侧，得到的答案余弦值是一个负值，与异面直线所成角的范围矛盾.

例4 长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=3,AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小.

例题中的解法是从本文的结论出发，通过在同一个面内的投影进行求解的.我们常见的求异面直线所成的角作法有：①平移法：在异面直线的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常用中位线；②建系法：建立合适的空间直角坐标系，把问题转化为空间向量夹角问题，用向量的运算解决问题. 以上4个例题都可以通过这两种常用方法解决，读者可以自己尝试.

练习:

1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D1的中点.求直线AE和BA1所成的角的余弦值.

2.如图，四面体A-BCD中，E为AD的中点，AC=CD=DA=8，AB=BD=5,BC=7．求异面直线BE与CD所成的角的余弦值．

[1]刘诗雄.金牌之路竞赛辅导[M].陕西：陕西师范大学出版社，2003.

[2]唐立华.命题人讲座——向量与立体几何[M].上海：上海科学教育出版社，2010.

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

王寒山(1983.11-),男，河北，汉，硕士，中学二级，研究方向：高中数学．

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1008-0333(2017)19-0023-02