华南师范大学数学科学学院(510631) 曾玉婷 吴康

三角形的垂足三角形无穷序列问题探讨

华南师范大学数学科学学院(510631) 曾玉婷 吴康

除去直角三角形之外的三角形均有其垂足三角形,怎样的三角形存在垂足三角形无穷序列?怎样的三角形不存在垂足三角形的无穷序列?

垂足三角形 无穷 序列

1.引入

若△ABC为锐角三角形(不妨设A≥B≥C),其垂足三角形为△DEF,则[1]

若△ABC为钝角三角形(不妨设A≥B≥C),其垂足三角形为△DEF,则[2]

若△ABC为直角三角形,则它没有垂足三角形.

下文中的三角形△ABC,约定A≥B≥C.

定义垂足三角形序列链长如下:对于△A0B0C0,△A1B1C1,△A2B2C2,...,△AkBkCk,若满足 △Ai+1Bi+1Ci+1是 △AiBiCi的垂足三角形,其中i=1,2,...,k,且△AkBkCk没有垂足三角形,则k称△A0B0C0为的垂足三角形序列链长(下文简称为“链长”).由定义可知,直角三角形链长为0.

2.问题提出

问题1怎样的三角形存在垂足三角形无穷序列?

先解决一个简单的

问题2怎样的三角形链长为1?

分析 问题即怎样的三角形的垂足三角形是直角三角形?

解 记△ABC的垂足三角形为△DEF.

(1)若△ABC为锐角三角形,则满足(∗),此时D≤E≤F,依题意得,即有,解得

(2)若△ABC为钝角三角形,则满足(∗∗),此时E ≥F,要使△DEF为直角三角形,则

问题3怎样的三角形链长为2?

分析:问题即怎样的三角形的二阶垂足三角形为直角三角形?也即怎样的三角形的垂足三角形符合问题2的解?

解 记△ABC的垂足三角形为△DEF.

(1)若△ABC为锐角三角形,则满足 (∗),此时D ≤E ≤ F,依题意得,从而有解得

(2)若△ABC为钝角三角形,则满足(∗∗),分两种情形讨论.

(2)若△ABC为钝角三角形,则满足(∗∗),分两种情形讨论.

(2)若△ABC为钝角三角形,则满足(∗∗),分两种情形讨论……