西安高新第三中学(710075) 吕二动

分式函数最值的多种求法

西安高新第三中学(710075) 吕二动

分式函数的最值题型是多样的,因而求分式函数的最值的方法是多样的.本文主要总结了函数(a,b,c,d,m,n均为常数,且ad＞0,的最值的各种求解方法.

分式 函数 最值

求分式函数最值的方法很多,从不同角度入手,则可得到不同的解法,本文主要从不等式法、判别式法、构造等差数列法、代换法、向量法、求导法、构造图形模型法的思想出发,得到下列的各种解法.

一.不等式法

解法一均值不等式法(课本必修五的知识)

①当a, d 与m, n 同号时, a(c−dx) ＞ 0, d(ax+b) ＞ 0,由ac + bd ＞ 0, 故

②当a, d 与m, n 异号时, a(c−dx) ＜ 0, d(ax+b) ＜ 0,由ac + bd ＜ 0, 故

解法二柯西不等式法( 课本选修4-5 的知识)

①当a,d与m,n同号时,a(c−dx)＞0,d(ax+b)＞0 md＞0,an＞0,由ac+bd＞0,

②当a,d与m,n异号时,a(c−dx)＜0,d(ax+b)＜0 md＜0,an＜0,由于ac+bd＜0,

二、判别式法

解法三 (函数值域的方法)

由于

①当a,d与m,n同号时,a(c−dx)＞0,d(ax+b)＞0,由于ac+bd＞0,又y＞0,从而t＞0.故

三.构造等差数列法

②当a,d与m,n异号时,a(c−dx)＜0,d(ax+b)＜0,因为ac+bd＜0.又y＞0,所以t＜0.从而

四.代换法

解法五 三角代换法,课本必修四知识

①a,d与m,n同号时,md＞0,an＞0,故ac+bd＞0.所以

②当a,d与m,n异号时md＜0,an＜0,所以ac+bd＜0.所以

所以

解法六 整体代换法,课本必修五的方法

①a,d与m,n同号时,md＞0,an＞0,所以ac+bd＞0.因为p＞0,q＞0,所以

解法七 局部代换法,课本必修四的方法

①a,d与m,n同号时,md＞0,an＞0,所以ac+bd＞0.因为p,q,同号,所以

②a,d与m,n异号时,ma＜0,dn＜0,所以ac+bd＜0.因为p,q,同号,所以

五.向量法

解法八 课本必修四知识

六.导数法

①a,d与m,n同号时,ma＞0,dn＞0,所以ac+bd＞0.令 y′=0得即

②a,d与m,n异号时,ma＜0,dn＜0,所以ac+bd＞0.令 y′=0得即得

七.构造图形模型法

解法十 (课本选修2–1的方法)

①a,d与m,n同号时,md＞0,an＞0,所以ac+bd＞0.所以所以则

可化为

所以∆=[(an−dm)−(ac+bd)y]2−4(ac+bd)dmy=0.

所以[(an+dm)−(ac+bd)y]2=4admn＞ 0,所以所以

所以

②a,d与m,n异号时,md＜0,an＜0,所以ac+bd＜0.所以则

问题转化为关于u,v的方程组

在条件

图1

可化为(ac+bd)u2+[(an−dm)−(ac+bd)y]u+dmy=0.所以∆=[(an−dm)−(ac+bd)y]2−4(ac+bd)dmy=0.所以[(an+dm)−(ac+bd)y]2=4admn＞ 0,所以(ac+bd)y−(an+dm)=−所……