唐 锋

（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

Fitting长等于3的小群

唐 锋

（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

设G是阶不超过50的有限群，且G的Fitting长等于3. 本文给出了G的所有分类.

有限群；Fitting长；可解群；群阶

1 引言

本文中G总表示一个有限群，p，q，r表示不同的素数. 对有限群的研究离不开群例的支撑，群例使得对群性质有具体理解，又可避免在研究某一群性质时，这样的群是不存在的，即出现所谓“空中楼阁”.因此，构造或找出满足特定性质的有限群是必要的. 进一步，对具体的群例研究，可以发现新的群性质并深入研究.

设G是群，F( G)为G的Fitting子群，F1( G)=F( G)，F2( G)F1( G)=F( G F1( G)). 一般地，Fk+1(G)Fk( G)= F( G Fk( G))，k=1，2，L. 于是得G的一个特征子群列1≤F1( G)=F( G)≤F2( G)≤L≤Fk( G)≤L. 因为G是有限群，所以该特征子群列只能有有限项. 若G不可解，则一定存在正整数k，使得Fk( G)=Fk+1(G)

本文中的符号都是标准的，参见文献［5］.

2 主要引理

引理1（文献［6］定理1.31） 设群G的阶为p2q，则G的Sylow子群至少有一个是正规子群.

引理2（Burnside） paqb阶群必可解.

引理3（文献［6］定理5.16） 设群G的所有Sylow子群皆循环，则G′和G G′都是循环群且阶互素.

引理4 设群G的阶为p2q2，则G的Sylow子群至少有一个是正规子群.

证明 设P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G). 不妨p

因为P不正规，所以n2( G)>1，故n2( G)=3或9.

假设n2( G)=3. 令K=NG(P)，则从而GcoreG(K)同构于S3的一个子群. 特别地，

假设n2( G)=9. 此时NG(P)=P，O2( G)1. 而Q不正规，于是我们得到G O3( G)是22⋅3=12阶群，且Q O3( G)是G O3( G)的Sylow 3-子群，非正规. 由引理1得，，于是PO3( G). 由Frattini论断知，G=PO3( G) NG(P)=PO3( G)，矛盾.

引理5 设G是24阶群，且G的所有Sylow子群皆不正规，则G≅S4.

证明 设P∈Syl2(G)，Q∈Syl3(G). 由条件得n3( G)=4，所以令K=NG(Q)，则GcoreG(K)同构于S4的一个子群.

假设coreG(K)>1. 因为coreG(K)≤K，所以

综上，coreG(K)=1，故G≅S4.

引理6（文献［7］定理2.6.3） 设群G的阶为16，则G有以下14类.

G交换，型不变量分别为(16)，(8,2)，(4,4)，(4,2,2)，(2，2，2，2)，标号记为（1）—（5）.

G非交换