李兰强, 刘 丽

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230009)



一类2-重量码和两类3-重量码

李兰强, 刘 丽

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230009)

设F是含有q个元素的有限域,其中q是一个奇素数p的正整数幂。文章利用F到Fp的迹映射Tr,构造Fp上两类3-重量线性码和一类2-重量线性码,并计算这些线性码的重量分布;所构造的这三类线性码可以用于密钥共享体制的构造。

有限域;线性码;指数和;重量分布;密钥共享体制

0 引 言

线性码是一类非常重要的码,尤其是少重量线性码。它们在密钥共享体制和认证码方面有广泛的应用。此外，在消费电子和网络通信以及数据存储方面也有应用。因此,寻找有限域上的少重量线性码是学者们研究的热点之一。

W(Z)=1+A1Z+A2Z2+…+AnZn,

而(1,A1,A2,…,An)称为码C的Hamming重量分布。若(A1,A2,…,An)中不为0的Ai的个数为t,则称码C为t-重量码。

通过某个Gray映射,将环上的线性码映射为域上线性码是构造域上线性码的常见方法[2-4],但用这种方法很难计算出码的重量分布。

本文是用另一种方法构造有限域上的线性码。对于任意集合D={d1,d2,…dn}⊆F,可以构造一个长度为n的线性码，即

CD={(Tr(d1x),Tr(d2x),…,Tr(dnx)):x∈F},

其中,D被称为码CD的定义集。文献[5-6]用这个方法分别构造了一类3-重量二元线性码和一类2-重量二元线性码,这些码可以用在密钥共享体制和认证码等方面。目前,已有不少学者用这个方法构造少重量线性码[7-10]。本文在上述研究的基础上构造少重量线性码,给出相应参数和重量分布。

1 预备知识

F的一个加法特征是从F到非零复数集的非零函数χ,且对任意x,y∈F,有χ(x+y)=χ(x)·χ(y)。对任意b∈F,可定义加法特征为:

∀c∈F,

此外F*的乘法特征定义为:

其中,0≤j≤q-2;α为F*的一个生成元。当j=(q-1)/2时,称ψj为F*的二次特征,记为η。F上的高斯和G(ψ,χ)定义为:

其中,ψ为F*的乘法特征；χ为F的加法特征。当ψ=η,χ=χ1时,补充η(0)=0,则有:

类似地,有Fp上的高斯和为：

由文献[11]可得引理1与引理2。

引理1 符号如上所述,则有:

引理2 设χ是F的一个非平凡加法特征,ψ是F的一个乘法特征,且ψ的阶为d=gcd(n,q-1),n∈N,则有:

其中,a,b∈F且a≠0。

定理1 设f(x)=ax2t+bxt∈F[x],其中,gcd(q-1,t)=1且a≠0,则有:

由文献[7]可得如下引理3。

引理4 设p是一个奇素数,q=pm且满足gcd(t,q-1)=1,则对任意a∈Fp,有

证明 由引理2,可得:

(1) 若a=0,则

(2) 若a≠0,则

证明 由定理1可知:

若Tr(b2)=0,则有:

若Tr(b2)≠0,则有:

定理2 设na=|{x∈F:Tr(x2t)=a}|,其中,a∈Fp,gcd(t,q-1)=1,则有:

再由引理4得:定理2的结论成立。

2 主要结果

本文选取Da={x∈F*:Tr(x2t)=a},其中,a∈Fp;gcd(t,q-1)=1。由该定义集可得:

CDa={(Tr(xtd1),Tr(xtd2),…,Tr(xtdn)):x∈F},

令N(b)=|{x∈F:Tr(x2t)=a,Tr(bxt)=0}|,记码CDa的码字cb的Hamming重量为W(cb),则有:

W(cb)=na-N(b)

(1)

(2)

表1 m为奇数时线性码CD0的重量分布

表2 m为偶数时线性码CD0的重量分布

由定理3可知,当a=0时,可以得到Fp上一类3-重量线性码和一类2-重量线性码。这2类线性码已经在文献[7]中被研究,故本文仅作简单介绍。本文主要研究a≠0的情况。

W(cb)=na-N(b)=

证明 由引理4、引理5及(2)式得:

ω1=pm-1-pm-2,

则由定理2可得:

Aω1=pm-1-1,

当a是模p的二次非剩余时,同理可证。

表3 a是模p二次剩余时线性码CDa的重量分布

表4 a是模p二次非剩余时线性码码CDa的重量分布

例1 设a=1,p=5,m=3,则码CD1是一个参数为[30,3,20]的线性码,且其重量计数器为1+24Z20+60Z24+40Z26。

例2 设a=2,p=3,m=5,则码CD2是一个参数为[90,5,54]的线性码,且其重量计数器为1+80Z54+90Z60+72Z66。

证明 与定理4的证明类似。

表5 m为偶数线性码CDa的重量分布

例3 设a=1,p=3,m=4,则码CD1是一个参数为[30,4,18]的线性码,且其重量计数器为1+50Z18+30Z24。

例4 设a=2,p=5,m=2,则有线性码CD2,其参数为[6,2,4]且重量计数器为1+12Z4+12Z6。已知参数为[6,2]的线性码的极小距离d最大可以是5,因此码[6,2,4]是一个几乎最优码。

因此,本文构造的两类3-重量线性码和一类2-重量线性码均可用于密钥共享体制的构造。

3 结 论

本文取定义集Da={x∈F*:Tr(x2t)=a},其中a∈Fp,gcd(t,q-1)=1;再利用F到Fp的迹映射Tr构造Fp上的线性码。当a=0时,所得到的线性码与文献[7]中定理1与定理2所述的线性码一样。本文主要研究a≠0的情况,得到了Fp上两类3-重量线性码和一类2-重量线性码,并给出其重量分布。此外,在一定条件下,本文构造的两类3-重量线性码和一类2-重量线性码均可用于密钥共享体制的构造。

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(责任编辑 朱晓临)

A class of two-weight and two classes of three-weight codes

LI Lanqiang, LIU Li

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

LetFbe a finite field withqelements, whereqis a positive power of an odd primep. In this paper, there are two classes of three-weight and a class of two-weight linear codes overFpconstructed by using the trace function Tr fromFtoFp. The weight distributions of these classes of linear codes are also determined. In addition, these classes of linear codes can be used in secret sharing schemes.

finite field; linear code; exponential sum; weight distribution; secret sharing scheme

2016-04-13

国家自然科学基金资助项目(11401154);安徽省省级质量工程专业综合改革试点资助项目(2012zy007)和名师(大师)工作室资助项目(2015msgzs126)

李兰强(1991-),男,安徽蒙城人,合肥工业大学硕士生; 刘 丽(1965-),女,安徽安庆人,博士,合肥工业大学教授,硕士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.07.027

TN911.22

A

1003-5060(2017)07-1004-05