安徽 黄海波

(作者单位：安徽省合肥市第六中学)

从初步了解走向深入理解
——谈利用“齐次化”思想解题

以下一组高考题的解法，大家是熟悉的：

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3.(2016年高考新课标Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(Ⅰ)求C；

第1、2题分别可以构造关于sinα,cosα的“齐二次”的商以及构造关于a,b,c的齐次式来解答.第3题题目条件中，有关于△ABC的三边长a,b,c的齐次结构，所以，可以由正弦定理将它们分别替换成对角的正弦来解答.

在更多的高考、自主招生或数学竞赛试题中，这种“齐次化”的结构或是方法是更隐蔽的，往往难以发现.因此，这些问题的难度相对较大，我们有必要通过一些典型的例子来开拓同学们的解题思路.以下主要以三角、函数、圆锥曲线以及不等式问题为背景具体阐释.

1.三角背景

2.函数背景

【例3】(2017·安徽省名校联考)设函数f(x)=lnx+a(x2-3x+2)，其中a∈R.

(Ⅰ)讨论f(x)极值点的个数；

【解】仅解答第(Ⅱ)问.g(x)=2lnx-x2-λx，

假设g′(x0)=0，

∴u(t)在0

∴④式不成立，与假设矛盾.

∴g′(x0)≠0.

3.圆锥曲线背景

4.不等式背景

【解】该题解法众多，一种可以考虑的思路是：通过“1” 的代换将目标分式齐次化，然后换元化成单变量，最后结合均值不等式可求出该式的最大值.

【例6】若实数x,y满足x≥-1,y≥-1且2x+2y=4x+4y,则22x-y+22y-x的取值范围是 .

(作者单位：安徽省合肥市第六中学)