张海宽，邱昌贤，陆 波

（1.海军驻431厂军代表室，辽宁 葫芦岛 125004；2.中国船舶科学研究中心，江苏 无锡 214082）

基于双模量理论的高强度钢环肋圆柱壳总体稳定性塑性修正方法

张海宽1，邱昌贤2，陆 波2

（1.海军驻431厂军代表室，辽宁 葫芦岛 125004；2.中国船舶科学研究中心，江苏 无锡 214082）

文章基于矩形截面压杆的双模量理论和高强度钢的材料弹塑性本构关系，建立了环肋圆柱壳结构总体稳定性塑性修正曲线及修正方法，结果表明，模型的计算结果与静水外压试验测得的塑性失稳压力值及有限元结果符合情况较好，压杆双模量理论模型虽然和环肋圆柱壳实际结构存在差异，但由此得到的塑性修正方法仍具有较好的工程精度，在应用于高强度钢环肋圆柱壳总体稳定性计算时适应性好，且形式简单，便于运用。

总体稳定性；塑性修正；双模量理论；环肋圆柱壳

0 引 言

在现代潜艇、潜水器的结构设计参数范围内，以环肋圆柱壳为代表的耐压壳体在静水外压下的失稳破坏往往发生在材料的塑性阶段，弹性稳定性计算结果一般仅具有理论意义，可用于波形分析及结构初步评估，但不足以指导工程实际，同时，塑性稳定性的直接计算方法（包括有限元法）往往需要进行多次迭代，求解较为繁琐、耗时，工程应用的便利性偏弱，因此，建立精度能满足工程要求且较为简便、实用的结构塑性稳定性修正方法是十分必要的。

近年来，随着潜水器极限深度不断加大，以及新型高强度钢材及配套焊材、相关工艺的日益成熟和广泛应用，高强度钢耐压结构的稳定性计算问题逐渐成为理论研究和工程实际面对的主要方向，为了解决新的问题，需要在传统塑性修正方法基础上，根据高强度钢的材料力学特性进行推导并建立新的修正曲线。

壳体结构塑性失稳压力的计算方法可以通过在薄壳弹塑性稳定性理论中引入材料本构关系来建立，但形式大多较为复杂。Timoshenko等[1-2，4-5]简单地采用折算模量Er（Reduced Modulus）代替弹性模量E来求解临界载荷，这是一种基于矩形截面压杆弹塑性稳定性的双模量理论，长期用于苏俄潜艇耐压圆柱壳结构的稳定性设计计算，也是国内现有规范方法的理论基础，这种修正方法使用简单，便于手算，且多年来经过了许多模型的试验验证，具有较好的工程精度，本文在对环肋圆柱壳的总体稳定性进行塑性修正时也将继续采用这一理论。

折减模量Er是一个材料常数，与结构各点的空间坐标无关，但由其推导过程（见后文）可以看出，Er显然与压杆的截面形状有关，唐家祥[3]计算了不同截面形状对应的Er，其偏差约为5%，从而得到了Er对压杆截面形状并不敏感的结论，这成为本文利用双模量理论对高强度钢环肋圆柱壳结构的总体失稳压力进行塑性修正的重要依据。同时，环肋圆柱壳结构发生总体失稳时，失稳形态对应的周向整波数通常为n=2或3，纵向半波数通常为m=1，塑性加载区和弹性卸载区并存，这和临界失稳压杆的微弯状态十分相似，因此将环肋圆柱壳简化为与轴心压杆相同的物理模型是有一定合理性的。

本文将考虑高强度钢的材料弹塑性本构关系，基于传统的矩形截面压杆双模量理论进行推导，以期建立工程上方便应用的环肋圆柱壳结构总体稳定性塑性修正曲线，并对若干高强度钢大尺度模型进行弹塑性计算、修正，将相关计算值和规范解、有限元解和试验结果进行对比验证，以检验该塑性修正方法的工程适用性和可靠性。

1 双模量理论的塑性修正方法

环肋圆柱壳结构的实际失稳压力往往显著低于其弹性理论值，原因之一在于结构应力超过材料的比例极限后，应力—应变关系不再呈线性增长，弹性模量E迅速降低，因此需要针对材料的物理非线性特征对弹性失稳压力进行塑性修正。材料的塑性应力—应变关系往往比较复杂，会给结构稳定性计算带来很大困难，工程上一般的做法是：根据弹性稳定性理论得到结构的弹性失稳临界压力，再基于几何修正系数Cg和物理修正系数Cs进行修正，得到实际的失稳压力，其中几何修正系数Cg可由具有初始形状缺陷柱壳的大挠度弹性失稳临界压力和形状完善柱壳的小挠度弹性失稳临界压力之比得到，而物理修正系数Cs可由形状完善柱壳的小挠度弹性失稳临界压力和塑性失稳临界压力之比得到，也可根据双模量理论、切线模量理论或薄壳弹塑性稳定性理论得到，本文将利用高强度钢的拉伸性能参数，基于双模量理论对稳定性塑性修正系数Cs进行推导，并开展模型试验结果的对比验证。

双模量理论（Double Modulus Theory）首先由Considere等[2，7]提出，他们认为，压杆除了直线形式的平衡外，还存在微弯状态下的平衡，外力与内力的平衡是随遇的（Neutral Equilibrium）。对处于临界失稳状态的微弯压杆，随着弯曲的发展，其凹侧应力按材料切线模量Et增大（塑性加载），而凸侧应力则按弹性模量E减小（弹性卸载），在此基础上，Engesser[2，7]于1895年提出了双模量理论，Von Karman[2，7]于1910年在其博士论文中推导了矩形截面压杆的折减模量Er，用于计算粗短柱子在塑性状态下的Euler载荷。

双模量、切线模量等理论均建立在以下主要假设基础上[3]：

（1）弯曲应力与弯曲应变之间的关系与材料单向拉、压的应力、应变关系相同；

（2）压杆的各横截面在弯曲前后保持为平面，忽略截面翘曲。

在计算折减模量Er时，认为压杆的轴向载荷在弯曲过程中不变，即弯曲拉、压应力在横截面上的合力为0，此外还需利用弯曲应力与外力矩之间的物理方程及压杆应变与弯曲曲率之间的几何关系（曲率计算式可根据微弯状态的小变形假设进行简化）。由于压杆各点的弯曲变形由两个模量确定，在材料的塑性阶段，E与Et并不相等，因此截面中和轴与形心轴不重合。

对于微弯压杆，将应力均取为绝对值，则附加的弯曲拉、压应力σ1（凸侧）和σ2（凹侧）为：

对于矩形截面压杆，弯曲应力的合力R1、R2分别为：

由于压杆的轴向力在弯曲过程中不变，因此合力R1=R2，得到：

代入h=h1+h2，得到：

压杆矩形截面上的弯矩为：

对于微弯状态（小变形），近似认为y’=0，则有：

从而得到矩形截面压杆的折减模量和基于Euler公式的塑性稳定性修正系数：

2 高强度钢材料本构关系及塑性修正曲线

对于高强度钢，在塑性阶段，材料的单向拉伸应力—应变关系同样可用三参数方程（Ramberg-Osgood模型）来描述[5]，如（13）式所示，则其割线模量Es和切线模量Et可由应力—应变的弹塑性本构关系推导得到，如（14）、（15）式所示，在材料的弹性阶段，Es和Et均与弹性模量E相等。

根据参考文献[5]，对高强度钢可取E=1.96×105MPa，m=6.811 8，K=557.89，则其材料的弹塑性本构关系如图1～3中相关曲线所示。

图1 高强度钢单向拉伸应力—应变关系曲线Fig.1 Stress vs strain curve for high strength steel under axial tension

图2 高强度钢割线模量—应变关系曲线Fig.2 Secantmodulus vs strain curve for high strength steel

图3 高强度钢切线模量—应变关系曲线Fig.3 Tangentmodulus vs strain curve for high strength steel

利用高强度钢拉伸曲线的特征参数求得折算模量Er、塑性稳定性修正系数Cs与结构应变的相对关系后，再经过由塑性应变向弹性等效应力σe的转换，即可得到双模量理论的环肋圆柱壳总体失稳临界压力的塑性修正曲线，如图4所示，在等效应力σe低于比例极限σp时，取修正系数Cs=1。

为简化稳定性的计算过程，假定失稳前环肋圆柱壳在静水外压作用下处于无矩状态，计算周向应力时将肋骨截面积平均分配到壳板上：

应注意到，规范中修正弹性总体稳定性时近似周向中面应力取为：

而本塑性修正曲线对应的弹性应力为等效应力，与现行规范方法有所不同：

图4 基于双模量理论的高强度钢稳定性塑性修正系数Cs曲线Fig.4 Plastic stability modification factor Csvs strain curve for high strength steel based on Double Modulus Theory

3 计算结果对比分析

为了考验相关方法的可靠性，本文对CSSRC完成的若干高强度钢环肋圆柱壳大尺度模型的总体稳定性进行了计算—在求得计及肋骨偏心的弹性总体失稳压力后，利用所建立的高强度钢环肋圆柱壳结构总体稳定性的物理非线性Cs曲线进行塑性修正，并将计算结果相比较，如表1所示。为了便于对比，所选择的模型在静水外压试验中均发生总体失稳，为了具有一定代表性，各模型的设计压力、结构参数等均拉开一定差别，圆柱壳中面半径与厚度之比R/t到在55到120之间。计算时取材料的弹性模量E=1.96×105MPa；泊松比μ=0.3，屈服强度Rp0.2为800MPa级。

表1 高强度钢模型塑性总体失稳压力结果对比（MPa）Tab.1 High strength steel models’calculated critical pressure of plastic general stability(MPa)

图5 有限元分析得到的高强度钢环肋圆柱壳静水外压总体失稳破坏形态及位移云图Fig.5 FE buckled forms of ring-stiffened cylindrical shell models of high strength steel under external hydrostatic pressure

由表1可知，双模量理论的塑性修正结果与规范解、有限元解和试验值基本上相差不大，但双模量解与规范解之间的差别依然存在一定差别，说明现行规范提供的修正方法对高强度钢确实有适用性问题，方法的偏保守或是偏危险将决定耐压结构的设计是否优化或安全储备是否足够，初步对比情况表明，双模量计算值比规范解更接近于模型静水外压试验结果，因而本文的塑性修正方法在应用于高强度钢环肋圆柱壳结构总体稳定性计算时适应性更好。

4 结 语

为了研究采用高强度钢制造的环肋圆柱壳结构在静水外压下的塑性总体稳定性，本文基于传统的双模量理论（DMT）研究并建立了工程上方便应用的稳定性塑性修正方法。为考验相关方法的可靠性，本文采用现有的规范公式和ANSYS有限元程序对环肋圆柱壳结构模型的总体稳定性进行对比计算，主要工作及结论如下：

（1）基于矩形截面压杆双模量理论（DMT）和高强度钢的材料弹塑性本构关系，建立了工程上方便应用的环肋圆柱壳结构总体稳定性塑性修正曲线及修正方法，该Cs修正曲线可针对材料具体的拉伸性能参数进行拟合及调整。

（2）在求得计及肋骨偏心的弹性总体失稳压力的前提下，利用所建立的环肋圆柱壳结构总体稳定性的物理非线性Cs曲线进行塑性修正，相关计算值和模型静水外压试验测得的塑性失稳压力值、有限元结果符合情况较好。虽然矩形截面压杆双模量理论模型和环肋圆柱壳实际结构存在差异，但比较粗略的双模量理论仍具有较好的工程精度，且形式简单，便于运用。

（3）双模量解与规范结果之间的有所差别，说明现行规范提供的修正方法对高强度钢确实存在一定的适用性问题，方法的偏保守或是偏危险将决定耐压结构的设计是否优化或安全储备是否足够，初步对比表明，双模量计算值比规范解更接近于模型试验结果，因而本文的塑性修正方法在应用于高强度钢环肋圆柱壳总体稳定性计算时适应性更好。

（4）经初步验证，本文建立的高强度钢塑性修正曲线和修正方法是合理、可行的，所得到的研究成果和相关结论可为现行规范方法的修改完善提供技术支撑和参考建议，但相关方法的可靠性还有待试验验证、实践检验和进一步补充完善。

参考文献：

[1]铁摩辛柯S P,盖莱J M.弹性稳定理论[M].北京：科学出版社,1965,2：189-191.

[2]周承倜.弹性稳定理论[M].成都：四川人民出版社,1981,1：46-50.

[3]唐家祥,王仕统,裴若娟.结构稳定理论[M].北京;中国铁道出版社,1989,10(1)：47-54.

[4]周承倜.薄壳弹塑性稳定性理论[M].北京：国防工业出版社,1979,12(1)：178-188.

[5]徐秉汉,朱邦俊,欧阳吕伟,裴俊厚.现代潜艇结构强度的理论与试验[M].北京：国防工业出版社,2007,6(1)：57-58.

[6]GJB/Z 21A-2001.潜艇结构设计计算方法[S].国防科学技术工业委员会,2001.

[7]曾纪杰.对中柔度压杆的双模量理论的修正[J].机械强度,2006,28(3)：463-464.Zeng jijie.Revision of the formula with bimodulus im intermediate column[J].Journal of Mechanical Strength,2006,28 (3)：463-464.

Plastic modification methods based on Double Modulus Theory for general stability of ring-stiffened cylindrical shell of high strength steel

ZHANG Hai-kuan1,QIU Chang-xian2,LU Bo2
(1.Naval Representative Office in NO.431 Shipyard,Huludao 125004,China; 2.China Ship Scientific Research Center,Wuxi214082,China)

Considering elastic-plastic constitutive relationship of high strength steel,a plastic modification curve method,which was based on compressed pole with rectangular section under Double Modulus Theory,was proposed for calculating the general stability of ring-stiffened cylindrical shell structure.The calculated results were validated by some examples to meet with FEM results and buckled pressure of high strength steel models under external hydrostatic pressure pretty well.The theoretical model of compressed pole under Double Modulus Theory is a little different from the true structure of cylindrical shell,however, the derived plastic modification method from DMT offered pretty good precision in engineering sense.Besides,the method has simple form and easy to use.

generalstability;plastic modification;Double Modulus Theory;ring-stiffened cylindrical shell

U674.76

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.07.011

1007-7294（2017）07-0888-07

2017-03-15

张海宽（1977-），男，工程师；

邱昌贤（1981-），男，高级工程师，E-mail：qiuchangxian163@163.com。