陆泽茜+严春满

摘 要 在压缩感知的研究中，测量矩阵的优化是其中很重要的一个领域。基于此提出一种离散小波变换的梯度下降优化算法，首先构造Gram矩阵，定义相关系数以其表征采样效率，引入小波分解对原信号进行预处理，在逐层分解中表现稀疏性。采用经典分簇网络模型作为研究基础。在梯度所搜索的方向增加一个方向向量，达到优化测量矩阵性能的目的。选择高斯随机矩阵，部分哈达玛矩阵为测量矩阵，比较不同优化算法，在实验模拟的结果中，本文方法都有一定的优势。

关键词 压缩感知 测量矩阵 离散小波变换 互相干系数

中图分类号：TN92 文献标识码：A

1基于离散小波变换的梯度下降优化算法

针对无线传感器网络中传统测量矩阵方法无法满足数据采集需求的问题。本文提出一种基于离散小波变换基的梯度下降混合算法，对原始测量矩阵进行优化。

1.1建立测量矩阵的优化体系

针对测量矩阵与稀疏矩阵的非相关性，建立测量矩阵的优化模型，矩阵的非相关性可等价为各列归一化互相关系数的最大值。假设€%O为测量矩阵，€%q为稀疏矩阵，相关系数为衡量€%O和€%q之间的相关性，系数越小不相关性越强。令D=€%O€%q，表示对D所有列向量进行列归一化处理之后的矩阵，则相关系数€%e可定义为中任意两个向量间内积的最大值，即表达式（1）所示：

1.2信号的三层小波分解模型

为了解决优化模型描述的问题，引入小波分解对原始信号进行预处理。离散小波变换基是稀疏表示中常用的正交基，是一种数学分层分解工具，对信号降噪有其明显的效果。文献指出测量矩阵要采样的系数主要集中在系数序列的低频部分，因此在对信号进行了小波分解之后，在相同采样条件下，测量矩阵的测量系数可以保持较重要的信息量，从而提高了信号的重建效果。

式中g（n）=（-1）nh1-n（n∈Z）。由于采集信号的多样性，小波基和分解层数的选择是影响信号去噪能力和重构成功率的关键因素，如果层数过多会丢失信息严重，而层数过少去噪效果下降，都会对信号重构带来反作用，因此本文暂采用3层离散小波变换的实验环境，对采集信号进行分解处理。三层小波分解恰到好处，既能达到信号的降噪目的，又能保留足够多的数据信息，使其信号的重构成功率趋于稳定。

2仿真实验

本文为了验证本文优化方法的性能，实验选取信号长度N为256稀疏度为K=10的谐波信号作为测试对象，分别选择高斯随机矩阵、部分哈达玛矩阵为测量矩阵进行模拟采样，优化方法分别使用本文方法和基于特征值分解的測量矩阵优化方法、基于梯度迭代实现对测量矩阵的优化方法两种方法进行对比分析。

2.1测量矩阵优化前后的相关性比较

由于相关系数是衡量测量矩阵和稀疏变换矩阵相关性的关键特性，因此结合实验一的数据分析结果，通过改变观测数量M再次比较优化前后测量矩阵与傅里叶基的相关性，如图1所示。

通过实验对比可知，在相同观测值下，本文方法与特征值分解法和梯度迭代法两种优化方法对比，相关性均有所提高，其中通过本文方法优化后相关性更小，并且随着采集信号观测次数的增加非相关性增强，说明新的优化方法能够满足测量矩阵的优化体系。

2.2小波分解对算法优化性能的影响分析

在实际应用环境中，影响信号的噪声不可避免，而且是影响信号重构误差的最大因素，引入小波分解对原始性号进行处理，降低信号的维数的同时保留较为重要的信息量。所以，在实验过程中对模拟信号增加正态分布、的噪声验证本文优化算法的鲁棒性，如图2所示。

3结论

实验结果显示，在噪声影响下两种优化方法的重构成功率均有波动，在稳定性方面，本文算法仍高于其他两种方法，远高于未优化的测量矩阵效果，而且本文方法对高斯随机测量优化后对信噪有一定的抗性，信号重建误差比较平稳。这说明，信号通过离散小波变换后有明显的降噪能力。通过此方法能够降低原测量方法的数据空间复杂度，提高算法的收敛速度，增强测量矩阵与稀疏矩阵的非相关性。实验对比分析，该方法收敛速度快，数据重构成功率明显高于传统测量方法，降低了测量矩阵设计和实现难度，提高了降噪能力，适合在低采样率网络环境中应用。

参考文献

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