刘建志，黄振，祁百龙

(常州东风轴承有限公司，江苏 常州 213022)

1 概述

滚轮轴承是指轴承的外圈外圆不被包容(即外圈不装入轴承座孔内)，而外圆表面直接在固定轨道上滚动的轴承。若忽略外圈与轨道间的相对滑动，则外圆表面上任意一点所作的运动为摆线运动。滚轮轴承的工作状态如图1所示，内圈随机架以速度v作直线运动，外圈以角速度ω作旋转运动，径向载荷Fr作用在内圈上，外圈受滚动体的载荷和支反力Fr的作用，在交变应力下工作。

图1 滚轮轴承的工作状态Tab.1 Working condition of track roller bearing

常规向心滚动轴承的承载能力由径向基本额定动载荷Cr和径向基本额定静载荷C0r决定。前者是在轴承受载后只存在滚动体与滚道间的接触弹性变形的条件下推导；后者是在轴承受载后只存在滚动体与滚道间的接触塑性变形的条件下推导。

滚轮轴承外圈外径面与轨道间为线接触(微观状态下应力扩展后为一矩形)，相当于一个圆形简支梁。滚轮轴承受载后，不仅存在滚动体与内外圈滚道之间的接触弹性变形，还存在外圈自身的弹性弯曲变形。滚轮轴承外圈受载后的弹性变形如图2所示，由图可以看出，最大接触弹性变形在最大滚动体载荷处，最大弹性弯曲变形在水平轴线上与滚道相交的2个端点处。

图2 滚轮轴承受载后外圈滚道的弹性变形Tab.2 Elastic deformation of outer raceway of track roller bearing after load

滚轮轴承外圈变形会导致滚动体与内、外滚道的接触区域变小，即载荷范围角减小，滚轮轴承受载后外圈滚道的接触范围角如图3所示。

图3 滚轮轴承外圈的载荷范围角Tab.3 Load range angle of outer ring of track roller bearing

载荷范围角的减小会导致滚动体峰值载荷增加，从而使滚轮轴承的承载能力降低。由此可见，不能用常规轴承的基本额定动、静载荷来分析滚轮轴承的承载能力，也不能用分析常规轴承的变位方法来分析滚轮轴承的变位。

国内有专家探讨过在轴承外圈有几何变形的情况下，轴承额定载荷和使用寿命的计算方法，但均在外圈被包容的状态下，只是包容体刚性不足，受载后包容体有一定的几何变形，会引起外圈的几何变形，从而降低轴承的额定载荷和使用寿命。显然滚轮轴承与外圈被包容的常规轴承的工作状态存在较大差别，因此不能用外圈被非完全刚性体所包容的计算方法来计算滚轮轴承的承载能力和使用寿命等。

20世纪60年代左右，国外轴承公司给出了径向滚轮轴承(圆柱滚子滚轮轴承、滚针滚轮轴承)的基本额定动载荷Cr、基本额定静载荷C0r、有效额定动载荷Crw、有效额定静载荷C0rw、最大允许动载荷Frmax、最大允许静载荷F0rmax，并指出滚轮轴承外圈受载后的变形为椭圆，还规定当量动载荷Pr与有效额定动载荷Crw满足Crw/Pr≥1。但均未给出Crw，C0rw，Frmax，F0rmax的计算方法。

FAG近期产品样本中取消了滚轮轴承的基本额定载荷Cr，C0r，仅给出了有效额定载荷Crw，C0rw，且并没有对Crw，C0rw进行深入解释，容易使人将有效额定载荷理解为基本额定载荷。FAG公司取消基本额定载荷Cr，C0r，意味着发达国家对滚轮轴承认识比较成熟，不需要解释。

我国自20世纪70年代后期引进滚轮轴承并广泛应用以来，一直对滚轮轴承的承载能力缺乏足够的认识，有人套用常规轴承的计算方法对滚轮轴承进行分析和设计计算，甚至为增大滚轮轴承的基本额定载荷而盲目增大滚动体数量和直径，减小外圈壁厚，导致装机后短时间内批量弯曲强度破坏(30 min或更短)和弯曲疲劳破坏(未发现接触疲劳时已发生弯曲疲劳破坏)。近年来，仍有学者将滚轮轴承当作常规轴承研究,这不仅降低了滚轮轴承设计和使用的可靠性，还阻碍了滚轮轴承的发展。

国产滚轮轴承结构和尺寸与国外相同或类似时，因设计主参数、材料和热处理性能并不都与国外相同，故不能完全套用国外样本的载荷参数来分析滚轮轴承的承载能力和使用寿命，只能参考;若滚轮轴承结构和尺寸与国外完全不同时，则其承载能力和使用寿命无法计算。

随着机械工业的发展，滚轮轴承的应用越来越广泛。在有些场合还用到外圈外圆不被包容的轴承，例如汽车张紧轮轴承、发动机摇臂轴承等，这些轴承虽不在固定的轨道上滚动，但外圈也在被动旋转，也可看作滚轮轴承。

鉴于国内对滚轮轴承的认识与发达国家还有一定的差距，有必要展开对滚轮轴承承载能力的研究，探讨滚轮轴承载荷参数的计算方法。这不仅可提高滚轮轴承设计与应用的可靠性，还对外圈外圆非包容轴承的设计应用起到推动作用。

2 载荷参数

载荷参数中，Cr，C0r是假定将滚轮轴承作为常规轴承时的基本额定动、静载荷。由于滚轮轴承外圈有弹性弯曲变形，设计时外圈壁厚较大，与常规轴承相比，其基本额定载荷Cr，C0r很小，故不能将滚轮轴承当作常规轴承使用。Crw，C0rw是考虑了外圈的弹性弯曲变形后滚轮轴承的有效额定动静载荷。

Frmax，F0rmax是使滚轮轴承外圈在交变弯曲应力的作用下，不在接触疲劳破坏和接触塑性变形失效之前发生弯曲疲劳破坏和弯曲塑性变形失效的最大允许载荷。

3 常规向心滚子轴承Cr，C0r

3.1 基本额定动载荷Cr

根据滚动轴承额定动载荷理论可知，最大滚动体载荷为

Qrmax=(Fr/Zcosα)[1/Jr(T)]，

(1)

内、外圈的平均滚动体载荷Qi，Qe分别为

Qi=QrmaxJi(T)=Qrmax[Fr/Zcosα]·

[Ji(T)/Jr(T)]，

(2)

Qe=QrmaxJe(T)=Qrmax[Fr/Zcosα]·

[Je(T)/Jr(T)]，

(3)

2T]tcosφdφ，

2T]stdφ}1/s，

2T]ωtdφ}1/ω，

式中：Z为滚动体数量；α为滚动体与滚道的接触角；T为载荷分布参数；s，t，ω为指数。

在(2),(3)式中，若Qi，Qe分别代表内外圈的额定滚动体载荷Qci，Qce，则Fr相应的为内、外圈的额定载荷Ci，Ce，根据滚动轴承额定载荷的假定条件(T= 0.5)，则

Ci=QciZcosα[Jr(0.5)/Ji(0.5)]，

(4)

Ce=QceZcosα[Jr(0.5)/Je(0.5)]。

(5)

统计处理接触疲劳的指数方程为

(6)

使用概率S为0.9、额定寿命L为1×106r转时，内、外圈的额定滚动体载荷分别为

Qci=B[(1-γ)29/27/(1+γ)1/4]·

(7)

Qce=B[(1+γ)29/27/(1-γ)1/4]·

(8)

又由lg(1/S)∝QωLe∝FrLe可知

C=[1+(Ci/Ce)ω]-1/ω]Ci。

(9)

由(4),(5),(7)～(9)式可得

Cr=fc(iLwcosα)7/9Dw29/27Z3/4，

(10)

fc=B[Jr(0.5)/Ji(0.5)]{1+{[Je(0.5)/

Ji(0.5)][(1-γ)/( 1+γ)]143/108}9/2}-9/2·

[(1-γ)29/27/(1+γ)1/4]γ3/4，

γ=(Dwcosα)/Dpw，

式中：Lw为滚动体与滚道的有效接触长度；Dw为滚动体直径；B为系数；i为滚动体列数；Dpw为滚动体组节圆直径。

由(10)式可以看出，常规向心滚子轴承的额定动载荷与系数fc有关，而fc除与γ有关外，还与载荷分布参数Jr(0.5),Ji(0.5),Je(0.5)有关。γ，fc可由GB/T 6391—2010《滚动轴承 额定动载荷与额定寿命》直接查得，其fc的表达式仅是为了说明额定动载荷与载荷分布参数T的关系。

3.2 基本额定静载荷C0r

根据滚动轴承额定静载荷理论可知，基本额定静载荷为

C0r=f0iZDwLwcosα，

(11)

f0=K0Jr(0.5)，

K0=17/[Dw(ρi+ρe)]，

式中：ρi，ρe分别为内外滚道的主曲率。

由(11)式可以看出，常规向心滚子轴承的额定静载荷与f0有关，而f0与Jr(0.5)有关。额定静载荷的表达式与GB/T 4662—2012《滚动轴承 额定静载荷》不同，前者叙述过程，后者表达结果，其表达式是为了说明额定静载荷与载荷分布参数T的关系。

4 Crw，C0rw的计算方法

4.1 有效额定动载荷Crw

滚轮轴承受载后，外圈的弹性弯曲变形会导致滚动体与内外滚道的接触范围角减小，载荷分布参数T变小，T小于0.5。

若用载荷分布函数Jr(T),Ji(T),Je(T)代替(10)式中的载荷分布参数Jr(0.5),Ji(0.5),Je(0.5)，并且同样遵循S为0.9，L为1×106r的假定条件，可得到滚轮轴承的有效额定动载荷系数为

fcw=B[Jr(T)/Ji(T)]{1+{[Je(T)/Ji(T)]·

[(1-γ)/( 1+γ)]143/108}9/2}-9/2[(1-

γ)29/27/(1+γ)1/4]γ3/4，

(12)

则滚轮轴承有效额定动载荷为

Crw=fcw(iLwcosα)7/9Dw29/27Z3/4。

(13)

滚轮轴承有效额定载荷取决于载荷分布参数，即滚轮轴承外圈弹性弯曲变形。通过对比(10)式与(11)式可知，载荷分布参数T<0.5，则fcw

由(12)式，(13)式可得

fcw=Kcwfc，

(14)

Kcw=[Jr(T)/Ji(T)]{1+{[Je(T)/Ji(T)]·

[(1-γ)/(1+γ)]143/108}9/2}-9/2/[Jr(0.5)/

Ji(0.5)]{1+{[Je(0.5)/Ji(0.5)][(1-

γ)/( 1+γ)]143/108}9/2}-9/2，

因此滚轮轴承的有效额定动载荷也可表示为

Crw=Kcwfc(iLwcosα)7/9Dw29/27Z3/4=KcwCr。

(15)

4.2 有效额定静载荷C0rw

同有效额定动载荷的计算方法，将(11)式的Jr(0.5)转换成Jr(T)，则

f0w=K0Jr(T) ，

(16)

则滚轮轴承有效额定静载荷为

C0rw=f0wiZDwLwcosα。

(17)

可以看出，因外圈的弹性弯曲变形，T<0.5，则f0w

由(11)，(16)式可得

f0w=K0wf0，

(18)

K0w=Jr(T)/Jr(0.5)，

则滚轮轴承有效额定静载荷的另一表达式为

C0rw=K0wf0iZDwLwcosα=K0wC0r。

(19)

由(15)，(19)式可知，在未找到滚轮轴承有效额定载荷的计算方法时，通过对国外公司样本中的滚轮轴承载荷参数进行分析，以得到有效额定载荷与基本额定载荷之间的关系，可近似得到有效额定载荷的计算方法，对仿照设计、类比设计、扩展设计滚轮轴承的承载能力和使用寿命进行粗略计算。但这种仿照设计、类比设计、扩展设计的主参数必须符合产品设计规范。

综上可知，若弯曲变形量已知，通过外圈弯曲变形后的几何关系得到载荷范围角φ0，然后计算出载荷分布参数T,根据T再求得Jr(T)，Ji(T)，Je(T),最后求得Crw，C0rw。由(15)，(19)式可知，弯曲变形量已知，就可得到有效额定载荷的解析式，同样可得到与fc，f0相类似的fcw，f0w或Kcw，K0w参数表。初期，可以通过计算机软件进行数值分析。

5 Frmax，F0rmax的计算方法

5.1 Frmax的计算方法

由于滚轮轴承的外圈存在弹性弯曲变形，且外圈被动旋转，所以外圈存在弯曲交变应力。Frmax就是外圈所能承受的弯曲交变应力的极限值。若要计算Frmax，需要知道在外力作用下滚轮轴承外圈的弯曲应力值、抗弯截面模量(惯性矩)，还必须保证弯曲疲劳破坏滞后于接触疲劳破坏。

由应力应变理论可知，若求滚轮轴承外圈的弯曲应力，要知道滚轮轴承外圈的弯曲变形。

5.2 F0rmax的计算方法

国外公司早期样本中，给出了最大允许静载荷F0rmax，近期样本中取消了F0rmax值，根据滚轮轴承的特性，外圈旋转时才有载荷，而不旋转时没有载荷，此时滚轮轴承外圈产生弯曲塑性变形的可能性很小。但在极少数状态下，即使滚轮轴承外圈不旋转，也要承受较大的静载荷，会产生弯曲塑性变形，故仍要研究最大允许静载荷F0rmax的计算方法。可以针对个例进行研究，现不予讨论。

6 国外某公司早期样本中的载荷参数

为探讨Crw，C0rw和Frmax，F0rmax的计算方法，首先对国外公司早期样本中的数据进行分析，得到参数之间的相互关系，反推出载荷分布参数和载荷范围角，从而为有效额定载荷的可靠性计算提供参考。以国外某公司早期样本中NUTR系列产品的载荷参数为例进行分析。

国外近期滚轮轴承的样本中，已取消了基本额定动、静载荷，只给出了有效额定动、静载荷及最大允许动载荷,为了进行对比分析，依然采用早期的样本参数。

国外某公司NUTR轻、重系列滚轮轴承的载荷参数分别见表1和表2。

从表1和表2可以看出，内径相同、宽度相同的滚轮轴承基本额定动、静载荷相等，说明内径相同、宽度相同的轻、重系列产品设计主参数相同。重系列的有效额定动、静载荷比轻系列大，说明外圈壁厚越大，外圈弯曲变形越小。重系列的滚轮轴承C0rw，Frmax，F0rmax相同，而轻系列的滚轮轴承C0rw，Frmax，F0rmax有较大差别，这表明当外圈壁厚达到一定的厚度时，Frmax，F0rmax取值可与C0rw相同。

表1 NUTR轻系列滚轮轴承的载荷参数Tab.1 Load parameters of NUTR light series track roller bearing

表2 NUTR重系列滚轮轴承的载荷参数Tab.2 Load parameters of NUTR heavy series track roller bearing

利用表1和表2的参数和滚动轴承载荷理论推导载荷范围角φ0和载荷分布参数T，由(18)式、(19)式得

Jr(T)=Jr(0.5)C0rw/C0r。

(20)

将表1和表2中的C0rw，C0r和Jr(0.5)= 0.245 3代入(20)式可得Jr(T)，然后查表或由曲线图得到T，再根据T与Ji(T)，Je(T)的关系查表或由曲线图求得Ji(T)，Je(T)。

由滚动轴承载荷分布理论可知，处于φ角的滚动体载荷为

Qφ=Qmax{1-[(1-cosφ)/2T]}t，

(21)

当Qφ=0时，载荷范围角为

φ0=Acos(1- 2T)。

(22)

根据表1、表2，按照上述方法推导出Jr(T)，T，Ji(T)，Je(T)和φ0，结果见表3和表4。

从表3和表4可以看出，对于同系列的滚轮轴承，随尺寸的增大，载荷分布参数和载荷范围角减小；对于相同内径和宽度的滚轮轴承，外径越大，载荷分布参数和载荷范围角越大。随尺寸的增大，外圈的弹性弯曲变形增大；随外圈壁厚的增大，外圈的弹性弯曲变形量减小。

表3 NUTR轻系列滚轮轴承的载荷分布参数和载荷范围角Tab.3 Load distribution parameters and load range angles of NUTR light series track roller bearings

表4 NUTR重系列滚轮轴承的载荷分布参数和载荷范围角Tab.4 Load distribution parameters and load range angles of NUTR heavy series track roller bearings

若设计参数与国外相同，则可根据表3、表4的Jr(T)，Ji(T)，Je(T)来估算Crw，C0rw。估算时，通过相关标准先计算Cr，C0r，再计算Crw，C0rw。

按照国内的计算方法计算出Jr(T)，T，Ji(T)，Je(T)和φ0，考虑到国外材料的优越性，外圈的弹性弯曲变形量比国内小，故国外公司的T，φ0比表3、表4稍大。Ji(T)，Je(T)为近似值，精确值可通过(2)，(3)式求得。

7 滚轮轴承外圈弹性弯曲变形量

若求滚轮轴承的有效额定载荷Crw，C0rw及最大允许载荷Frmax，需先求解滚轮轴承的外圈弯曲变形量。

假定滚轮轴承受载荷Fr后，会使外圈产生2个变形(与常规向心滚子轴承相同的接触弹性变形和向心滚子滚轮轴承的外圈弹性弯曲变形)，则

Fr=Frj+Frt,

(23)

式中：Frj为使滚轮轴承发生接触弹性变形的力；Frt为使滚轮轴承外圈发生弹性弯曲变形的力。

Frj，Frt均未知，需联立2组多元静不定方程组和(23)式求解，求解困难。故探讨用试算法求解，试算法基本过程如下：

1)外圈没有弹性弯曲变形的各滚动体载荷

外圈没有弯曲变形时的滚动体载荷分布如图4所示，用滚动轴承载荷分布理论计算滚轮轴承受径向载荷Fr后，外圈没有弯曲变形时的各滚动体载荷Qmax，Q1，Q2，…，Qi-1，Qi。计算时可以不考虑滚子周向游隙的影响，这与满装滚动体的工作状态基本吻合。

图4 外圈没有弯曲变形时的滚动体载荷分布Fig.4 Load distribution of rolling element without bending deformation of outer ring

2)下半外圈的受力图

假想将滚轮轴承的外圈从水平轴线处切开，滚轮轴承受载的下半外圈的受力图如图5所示。

图5 半外圈受力和弯曲变形图Fig.5 Diagram of force and bending deformation of half outer ring

由图5a可知，这是一个半圆弧厚壁简支梁，R0为梁的中性圆半径，其值可通过材料力学求得；Fn为上半外圈对下半外圈的法向拉力，垂直于切面，作用在切面与中性圆的切点；Fv为上半外圈对下半外圈的切向剪力，平行于切面，同样作用在切面与中性圆的切点处；Frmax，Fr1，Fr2，…，Fri-1，Fri为滚动体对外滚道的法向力，其分别与Qmax，Q1，Q2，…，Qi-1，Qi对应相等。

滚动体对下半外圈的作用力使其产生弯曲变形，而上半外圈有阻止下半外圈产生弯曲变形的趋势。因此，假想切面上阻止下半外圈产生弯曲变形的力客观存在，但是否能用法向拉力Fn和切向剪力Fv表示，还待验证。

由图5b可知，上半外圈无外力(无滚动体载荷)，只存在下半外圈对上半外圈的法向拉力Fn和切向剪力Fv，根据力的方向，除上半外圈的切面存在与下半外圈的切面相等的变形外，上半外圈有向下变位的趋势，故滚轮轴承外圈的弹性弯曲变形图是近似的。

3)法向拉力Fn和切向剪力Fv

通过静力平衡方程组∑Fx=0和∑Fy=0可求解。

4)下半外圈各个单元的受力图

以Frmax，Fr1，Fr2，…，Fri-1，Fri的作用线为对称线，以滚子的周向角α=360°/Z所对应的外圈滚道弧长和外圆弧长为内外边，将厚壁半圆弧梁分为若干单元，作各单元的受力图，第i个单元的受力图如图6所示，法向拉力Fni和切向剪力Fvi与Fn，Fv的方向和作用点相同。相邻2个单元中相同切面上的法向拉力和切向剪力大小相等方向相反。

图6 第i个单元的受力图Fig.6 Force diagram of the ith element

5)各单元的法向拉力和切向剪力

利用静力的平衡方程组∑Px=0和∑Py=0可求得各个假想切面上的法向拉力Fno，Fn1，Fn2，…，Fni-1，Fni和切向剪力Fv0，Fv1，Fv2，…，Fvi-1，Fvi。

6)各个单元的合力矩

解得各个单元上各个力对中性圆上任意一点的合力矩M0(θ),M1(θ)，…，Mi-1(θ)，Mi(θ),即将合力矩变为θ的函数，θ为各单元中性圆上的任意一点的位置角。在计算合力矩时，使单元相对这个点逆时针扭转为正，顺时针扭转为负。

7)建立各个单元的挠度方程

根据梁的应变理论，列出各个单元的挠度微分方程为

EId2R/dθ2=∑Mi(θ) ；i=0,1，…,N,

(24)

式中：E为材料的弹性模量；I为抗弯截面模量，与滚轮轴承外圈的外径、滚道直径、挡边直径、外圈宽度、滚道宽度等有关；R为中性圆的挠度变形量(即弯曲变形量)；θ的定义域内为各单元的位置角减去和加上滚子的周向角λ的一半；N=(Z+2)/4，并圆整为整数。

微分方程组的初始条件为θ=0,dR/dθ=0,ΔR=0。连续条件为相邻2个单元中相同切面上的dR/dθ和ΔR相等， dR/dθ为单元上中性圆某一点的切线斜率(或称为扭转角)，ΔR为中性圆某一点的挠度变形量。

8)解挠度微分组

各个单元挠度微分解的表达式为

(25)

利用初始条件和连续条件得各积分常数。

9)输入载荷Fr，分析外圈的弯曲变形量ΔRmax

得到滚轮轴承外圈的弯曲弹性变形量后，结合外圈的接触弹性变形量，便可求得滚轮轴承的有效额定载荷和最大允许动载荷。有效额定载荷仅与外圈的弯曲弹性变形量和接触弹性变形量相关，而最大允许动载荷还与外圈的材料特性和应力交变相关，此外确定合理的滚轮轴承外圈的安全系数。

若条件允许，可选择与国外相同设计参数的产品，进行弯曲变形计算和有效额定载荷以及最大允许动载荷计算，并进行试验验证。

8 滚轮轴承外圈弹性弯曲变形量的试验验证

采用如图7所示的试验验证装置进行静态试验验证，将滚轮轴承的外圈安装在刚度足够大的平台上，用刚度足够大的芯轴与内圈内孔过盈配合，芯轴用固定块限定不使其产生位移，载荷通过加压块加在轴的两端。用位移传感器测量外圈外径轴向对称位置上的A，B，C，D点的法向位移量，然后计算，可得到外圈中性圆和滚道圆的弯曲变形。改变载荷，重复测量4个点的法向位移量，可得到滚轮轴承外圈的弹性弯曲变形规律。

图7 试验装置Fig.7 Test device

若试验验证结果与第8节的计算结果相近，说明计算方法可取，否则需要重新修正或改变计算方法。

9 结束语

介绍了滚轮轴承的工作特性，阐述了国内外对滚轮轴承承载能力和载荷参数的认识。在给出常规向心滚子轴承基本额定动、静载荷的基础上，讨论了滚轮轴承有效额定载荷和最大允许载荷的计算方法，并通过反推国外某公司NUTR系列滚轮轴承的载荷范围角和载荷分布参数，得到滚轮轴承载荷参数的变化规律，最后介绍了求解滚轮轴承外圈弯曲弹性变形的基本方法及试验验证方法。

载荷范围角按滚轮轴承外圈滚道的接触范围计算，而挠度分析按外圈的中性圆计算，弯曲变形量的试验验证又是测量外圆的位移量，虽然这三者可以通过几何关系相互转换，但转换时存在一定的误差，会影响分析计算的准确性，故有待进一步研究滚轮轴承外圈的弹性弯曲变形量的计算方法、试验验证方法，从而精确求得滚轮轴承的有效额定动、静载荷、最大允许动、静载荷。