张亚军，张雨奇

（1.杭州轴承试验研究中心有限公司，杭州 310022；2.贡比涅技术大学，法国 贡比涅 60200）

在大多数应用中，向心滚子轴承不仅要承受径向载荷，还要承受轴向载荷，带挡边的圆柱滚子轴承是其中之一。文献［1］有关于向心滚子轴承轴向承载能力的介绍。轴向承载能力与材料的疲劳强度无关，而与滚子端面和引导挡边的接触和润滑条件有关。在没有流体润滑时，轴向载荷会使滚子端面和挡边之间产生摩擦，如果载荷条件恶劣，则会迅速发生破坏。而球端面滚子与挡边间易形成油膜，会降低摩擦因数与接触温度。球端面滚子与平端面相比，在较高的轴向载荷下不发生咬合现象。球端面与挡边的接触对于接触应力、接触变形、油膜厚度、摩擦因数、摩擦力矩等均有影响。若想得到最大的油膜厚度、最小接触应力及摩擦因数等，需找到最佳接触位置。

文献［2］介绍了接触位置寻优的一种试验方法，该方法与图解法相同，求解不准确，且计算程序仅考虑了载荷与变形，油膜厚度、摩擦因数等都是把位置确定后再进行核算，其成本较高。鉴于此，通过对接触位置受力及流体润滑分析，建立以接触应力、接触变形、油膜厚度为多目标的模糊优化模型，用模糊优化法求解。并求解最佳模糊水平截集，确定最佳接触位置。引入模糊数学的基本思想，不仅解决了多目标优化问题，同时也兼顾了一些难以用模型来表达的主观和客观因素，得到在不同最优水平值下的优化方案，以供用户选择。

1 模型的建立

1.1 目标函数

滚子端面和挡边接触如图1所示，A为接触点，θ为挡边角度，S为滚子球端面半径，R为滚子半径，h为挡边高度，t为挡边倒角，r为滚道油沟半径，Fr为径向载荷，Fa为轴向载荷。以θ，S为设计变量，假设滚子端面和挡边的接触为球与平面的点接触。

图1 滚子端面和挡边接触Fig.1 Contact between roller end face and rib

1）目标函数1：最小油膜厚度

滚子与挡边接触状态如图2所示，量纲一的最小油膜厚度为［3-4］

图2 滚子与挡边接触示意图Fig.2 Contact diagram between roller end face and rib

式中：U为速度参数；G为材料参数；W′为载荷参数；Q为接触载荷；E0为当量弹性模量；α1为黏度压力系数；n0为黏度；u为平均速度；Rx为曲率半径。

（1）式可化简为

滚子与挡边受力示意图如图3所示，假设滚子球端面与挡边的接触为点接触。

图3 受力示意图Fig.3 Diagram of force

1.2 约束函数

由几何关系可知，滚子与挡边间接触位于挡边倒角与滚道之间，即

1.3 优化模型

以θ，S为设计变量，令 θ＝X（1），S＝X（2），设计变量 X＝［X（1），X（2）］T，最小目标函数

其中：fX（1），fX（2），fX（3）分别为以油膜厚度、接触应力、变形量为目标函数。

约束条件为

2 优化过程及方法

2.1 目标函数的单目标优化

在满足（12）式约束条件的情况下，求 X＝［X（1），X（2）］T。

2.2 多目标优化的设计模型

以fX（1）为目标函数，以 fX（2），fX（3）为约束条件。

2.3 多目标模糊优化设计模型［5-7］

（16）式由于对 fX（2），fX（3）约束太严格，使fX（1）得益较少，其结果偏重 fX（2），fX（3），而且也可能不收敛，可在fX（2）和 fX（3）的约束中加上允许放宽值，约束条件变为

式中：Δ2，Δ3分别为允许放宽值，可引入模糊优化设计确定其值。

模糊优化数学模型与普通优化数学模型类似，只是其中包含有模糊因素（即水平截集）。建立模糊优化模型，需确定隶属函数。所谓隶属函数就是在容许到不容许界限之间的过渡区容许度（隶属度）的变化，变化复杂，但一般取最简单的直线变化（图4中的AC段）。图4中，μ为隶属度；λ为水平截集；P0为模糊函数在过渡区的变化；PT，Pλ分别为其在允许区和不允许区的临界值（B点和C点）。

图4 隶属函数关系图Fig.4 Graph of membership function relation diagram

水平截集为λ，令P＝σ，则应力与隶属度的关系为

2.4 模糊优化模型的求解

模糊优化模型的求解方法有基本解法、最优水平截集法、近似模糊集合法，实际中均很少应用。文献［4］中提出了综合评判求解最优水平截集后，使水平截集法得到广泛应用，下文介绍用综合评判法求解最优水平截集λ*。

设主观不确定因素为：S1为设计力量，S2为加工技术，S3为成本，S4为材料性能，S5为管理水平，则因素集 U＝［S1，S2，S3，S4，S5］，设决断集为α＝［0，0.1，0.2，…，0.8，0.9，1］。

3 优化结果和分析

对滚子球端面和挡边进行多目标优化设计，以NF209轴承为例，其结构参数为：d＝45 mm，D＝85 mm，B＝19 mm，R＝5 mm，h＝2 mm，t＝0.3 mm，r＝0.8。Fr＝10 kN，Fa＝5 kN。

3.1 单目标优化设计

分别对（17）～（19）式求单目标优化并分别计算每种优化状态下另2种情况的结果，见表1。

表1 单目标优化Tab.1 Single objective optimization

3.2 多目标模糊优化设计

设主观因素集 U＝［S1，S2，S3，S4，S5］＝［0.4，0.2，0.2，0.1，0.1］，代入（24）式得最优水平截集，由（21）式得多目标优化设计计算结果：水平截集为0.83，X（1）＝0.03，X（2）＝90.02。

4 结论

1）选取3个目标函数进行优化求解可以平衡轴承的整体性能，结果更接近实际工况，但会损失某单一目标值。综合评判法求解为最优方案。

2）模糊优化设计不仅解决了多目标函数的问题，同时也兼顾一些难以用模型来表达的主观因素和客观因素，使优化方案更接近实际工况。通过模糊化可得到不同的最优方案，以供用户选择。

3）分析结果可指导试验分析，因素集的选取要根据具体制造工艺及经验进行调整。