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数列随想

2017-07-14弓月

新高考·高一数学 2017年4期
关键词:正整数圆周率六边形

弓月

数列对于我们来说其实一点也不陌生。小时候刚学说话,便会扳着手指数1,2,3,4,5,…,这是我们最早接触的数列。至于后来的高斯计算前100个正整数的和、让印度国王在国际象棋棋盘上放麦粒的故事,更是耳熟能详,同时也领略到数列中展现出的人类智慧。

数列在生活中可谓无处不在。我们思考问题时,为追求简便,常按一定的次序来处理事情,用次数、天数、月数、年数等顺次进行记录,这样便不知不觉生成了数列。

数列不仅是我们必备的数学知识,是形成数学素养的基本材料,也是拓展视野、认识世界的有力工具。

“圆周率到底是多少?”历史上这曾是一件让世人大伤脑筋的事。我国魏晋期间伟大的数学家刘徽,独创了一种叫“割圆术”的方法求圆周率:设圆的直径为1,依次计算圆的内接正三角形、正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形…的周长。用今天的话来讲,就是把这些周长依次排成一个数列。刘徽发现这个数列的项无限趋近于一个常数,这个常数就是圆周率。为什么呢?刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。”在数的逼近中,圆周率无所遁形。

1766年,德国中学数学教师提丢斯,把人们熟悉的等比数列3,6,12,24,48,96,192…作简单变换后得到数列0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6…令他驚奇的是,这个数列的每一项与当时已知的六大行星(即水星、金星、地球、火星、木星、土星)到太阳的距离比例(地球到太阳的距离定为1个单位)有着一定的联系。以该数列为线索,1781年,英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上(即数列中的第八项)发现了天王星;1801年,德国天文爱好者奥伯斯在数列的第五项,即2.8的位置上又发现了一颗对应的行星——谷神星。数列还可能是自然界事物内在数量关系的某种体现。

深入研究数列时会发现,它与函数有着密切的联系。函数可以用列表法、图象法、解析法表示。数列也可以用列表、图象、通项公式表示。从本质上讲,数列就是函数。只不过此时函数的定义域为正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}。这样,在学习数列时,可以从函数的视角来看待它,用函数的方法来研究它。相应地,我们也可以借助数列来认识不同角度的函数。其实,在我们刚学习函数的时候,就已经这么做了。大家还记得描点法作函数图象吗?为了画出函数图象,先在自变量中选取一些特殊值,再列表、描点。这实际上就是从函数中抽取出一个数列,让我们通过数列来认识函数。

掌握了数列知识,相信你的数学眼光一定会更有穿透力。endprint

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