王 冲

(沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001)

格林公式和同伦理论在第二型曲线积分计算中的应用

王 冲

(沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001)

通过理论分析和实例说明格林公式与拓扑同伦理论在第二型曲线积分计算方面的应用，从同伦的角度理解格林公式的根本.

第二型曲线积分；格林公式；同伦

1 格林公式

设函数P(x,y),Q(x,y)在闭区域D上具有连续的一阶偏导数,则有：

这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.[1]

设L围成的有界区域为D,记

如果我们形式地应用格林公式来计算,则有

但这种解法是错误的.因为P(x,y),Q(x,y)在D中的原点(0,0)处无定义、不连续,即不满足格林公式成立的条件,自然就不能利用格林公式直接来计算.

正确的解法是：设原点(0,0)到L上点的最小距离为d(d>0),取0

从而

(*)

因为Cr的参量方程为：x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π],所以

2 同伦理论

从同伦的角度上来分析这个问题.

定义2.1 空间X中的一条以x0为起点,x1为终点的道路h,是指一个连续映射h:[0,1]→X,满足x0=h(0),x1=h(1).为了直观起见,在不引起混淆时,就把这个连续映射h的象集h([0,1])——即单位线段[0,1]在h下的连续象叫做道路h(严格讲,h和它的象集h([0,1])是不等同的,因为存在不同的h,但它的象集相同).

定义2.2 如果X中的两条道路h1和h2,它们有共同的端点,并能经过连续变形由h1变成h2,就称道路h1同伦于道路h2,记为h1～h2.[2]

环绕圆周圈数不同的闭道路是不同伦的.只有绕圈的方向相同且圈数也相同的两条闭道路才同伦.指定依逆时针方向绕的圈数记为正数,顺时针方向的圈数记为负数.按方向和圈数相同的归在一类,共可分可数无限多类.每一类对应一个整数：常值道路所在的类对应于0；依……