■河南省平顶山市第一高级中学 左永记

浅析解析几何中的一题多变

■河南省平顶山市第一高级中学 左永记

一题多变的学习实为针对性的训练与探究解答一类题型的思维过程,对提高我们对这一类题型的认知与理解是非常有帮助的。而解析几何问题在高考中,无论是主观题,还是客观题,都能看见它们的“身影”,因此,解析几何问题的一题多变,是我们在备考过程中提高正确解答这类问题的手段。

一、以圆的方程为背景求解最值问题

已知实数x,y满足方程x2+ y2-4x+1=0,求的最大值和最小值。

解：原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆。的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,故设= k,即y=kx。如图1所示,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±3。所以的最大值为3,最小值为-。

图1

点评:在处理与圆有关的最值问题时,一般要借助几何性质求最值。应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解。形如μ=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题。

变式1：本题条件同例1,求y-x的最大值和最小值。

分析：y-x就是直线y=x+b的截距b。

解：y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,如图2所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时,解得b= -2±6。所以y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-。

图2

点评:形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题。

变式2：本题条件同例1,求x2+y2的最大值和最小值。

分析：x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方。

解：如图3所示, x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。……