■陕西省洋县中学 朱永明 刘大鸣((特级教师))

聚焦高考变换中的解析几何大题

■陕西省洋县中学 朱永明 刘大鸣((特级教师))

高考中的解析几何题,难度为中档以上,主要考查求曲线轨迹方程的方法,圆锥曲线的定义与性质应用,各圆锥曲线之间的联系,直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长、中点弦、最值、定点、定值的探索问题等,其中直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点和热点,常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识联系在一起,考查知识点多,运算量大,能力要求高,本文围绕如何寻找解决这种题型的技巧与捷径来展开。

聚焦1——利用“点差法”简化求解中点弦的有关问题

(1)求椭圆的标准方程;

(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l的方程。

解析：(1)由已知可得所以故椭圆的标准方程为

(2)椭圆的右焦点F(2,0)在椭圆内,满足恒相交的前提,用点差法探究。如图1,设线段MN的中点为Q(x0, y0),由三角形重心的性质知又B(0,4),所以(2,-4)= 2(x0-2,y0),得x0=3,y0=-2,求得Q的坐标为(3,-2)。设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=-4。

图1

感悟:求中点弦方程或垂直平分线的问题时常选用“点差法”。“点差法”必须以直线和圆锥曲线相交为前提,且注意直线斜率是否存在,当不存在时要特别验证。“点差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中点坐标来表示,在椭圆中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率为在双曲线中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率为在抛物线y2= 2px(p〉0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率为。

聚焦2——由特殊情况猜想定值,再通过检验证明一般情况

解析：①当直线l过原点时,由椭圆的对称性,可知