张四保

摘 要 本文研究形如5m+j与13m+j的正偶数是否是偶完全数的问题，以及形如5m-1的正奇数是否是奇完全数的问题，并给出相应的结论.

关键词 完全数；偶完全数；奇完全数

中图分类号 O156 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2017）03-0079-04

Problems of Whether or Not Several Kinds of Positive Numbers are Perfect Numbers

ZHANG Si-bao*， DENG Yong

（School of Mathematics and Statistics， Kashgar University， Kashgar 844008， China）

Abstract In this article， the problems whether or not the positive even numbers of the form 5m+j and 13m+j are perfect numbers were investigated. Also studied was the problem whether or not the positive odd numbers of the form 5m-1 are perfect numbers.

Key words perfect number； even perfect number； odd perfect number

设σ（n）是正整数n的所有正因数（包括1和n）的和函数. 若n满足σ（n）=2n，则n被称为完全数. 根据Euclid定理[1]与Euler定理[2]可知，当2p-1为Mersenne素数时，2p-1（2p-1）是完全数，且是仅有的偶完全数[3]. 到目前为止，人们只发现了49个偶完全数，其中第49个偶完全数274 207 280（274 207 281-1）由美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯·库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际项目于2016年1月7日发现[4]，而至今尚未发现奇完全数，是否存在奇完全数，这已成为数论中著名的问题之一 [5].

Euler[6]指出，若n为奇完全数，则n必为n = παq2β11q2β22…q2βss的形式，其中π，qi（i=1，2，…，s）是相异的奇素数，（qi，π）=1，βi是正整数，且π≡α≡1（mod 4）. 人们讨论过各种形式的奇数是否是奇完全数的问题. 1975年，Macdaniel[7]指出，若β1≡…≡βs≡1（mod 3），则形如παq2β11q2β22…q2βss的奇数不是完全数.2003年，Iannucci和Sorli[8]指出，若β1≡…≡βs≡2（mod 5），则形如παq2β11q2β22…q2βss的奇数不是完全数.2000年，Luca[9]证明任意一个Fermat 数都不是完全数.2006年，沈忠华[10]证明对于任意正整数n，形如Sn=12（52n+1）的奇正整數不是完全数.形如n=πα32βQ2β的奇正整数，在β∈[2，15）∪（15，20]都已被证明不是完全数[11].2008年，沈忠华[12] 等证明了形如Sn=（2n）2n+1的数不是完全数.2006年，Starni[13]证明当π≡1（mod 12）且α≡1，9（mod 12），n=πα32βQ2β不是奇完全数.2011年，朱玉扬[14]考虑了形如3m-1是否是完全数的问题，并给出了相应的结论. 本文主要考虑5m+j（j=-1，2），13m+j（j=0，4，5，7，9，11，12）的正偶数，以及形如5m-1的正奇数是否为完全数的问题.

1 主要结论及证明

定理1 形如5m+j的正偶数不是完全数，其中j=-1，2.

证 设n是5m+j型的正偶数，其中j=-1，2，即n≡-1，2（mod 5）. 由Euler定理与Euclid定理可知，偶完全数n的形式必为2p-1（2p-1），其中2p-1为Mersenne素数. 当p=2时，n≡1（mod 5）；……