刘俊

摘要：数学之美存在于数学学习的各个环节，需用心体会。一题多思多解就是感受數学之美的一种途径。笔者由一道向量题的探索，从几何，代数，图形等不同角度去探索，既能感受数学的殊途同归之美，又能启发学生不同思维，培养学生的创新能力。通过不同解法去探索一般规律渗透数学思想，让学生在探索中学会创新！

关键词：数学美；一题多思；创新能力

在中学数学学习中，我们能时时感受数学之美，数学中的数，形，法则，一题多思，通过探索去感受数学的规律之美，实在是一件美事！在最近的教学中，我发现一道向量题非常有意思，通过5种方法探索出一般规律，让学生一起参与其中，分享心得，既感受了数学之美，又体现了数学学习的价值。现在和大家一起分享如下：

已知点为内一点，满足，记的面积为，的面积为，且，则的值为（ ）

A、 B、 C、 D、

笔者经过思考后得出以下解法：

法一、如图：设为中点，

（方法说明：用此法解决本题比较简单，但不能解决每个小三角形和大三角形面积比，不具有通法效果。）

法二、如图：设分别为中点，

原式=

三点共线且为中位线。

，，

（方法说明：虽然运算量比方法一大，但能解决每一个小三角形和大三角形的面积比，具有通法效果）

法三：（法向量法）设，

为的法向量，

则（*）。

，

代入（*）得

（方法说明：法向量法学生虽不易掌握，但可以开辟一条新思路，理解起来不算困难。）

法四：如图，延长到点，使得；延长至点，使得。

以和邻边做平行四边形，连接交于点，则，即

。所以，由相似三角形知，。

（方法说明：此法为通法，虽思路简单但计算繁琐，且如果计算三个小三角形和大三角形面积之比需计算三次，运算量大）

法五、特值法：

由已知得，为一个定值。既然对任意三角形都满足，那么对特殊三角形也满足。设为的等腰直角三角形，建立坐标系如图：

则，设，则 。由得：

，易知

（方法说明：特值法是我们解决问题的一种快捷准确的方法，包括特殊值，特殊函数，特殊位置，特殊图形等。本题用特殊图形解决此问题很简单，但仍然具有通法的效果！值得推荐！）

问题变式：已知点为内一点，满足，

求（注意的关系）

由此对该问题进一步推广，得出以下结论：

结论（1）：设点是所在平面内一点，分别是中点。若（其中），则在中位线上且；特别的若在内部，则，

。

证明：如图， ①

②

由①+②得：

即

若在内部，则

，

进一步证明发现，其逆命题也成立。

结论（2）：设点是所在平面内一点，分别是中点，若有

，（其中）则 。

证明：如图：，则

整理得：

以上是笔者对这道向量题的一点思考，希望能得到师生们的共鸣。在数学教学中，通过集体探索一题多解妙解，进而去探索其一般规律发现数学规律之美，培养学生的创新能力，相信学生能把它深深印在脑海里，永不磨灭！