郝志远，高玉斌

(中北大学 理学院，太原 030051)



低阶可约惯量任意符号模式矩阵的刻画

郝志远，高玉斌

(中北大学 理学院，太原 030051)

一个n阶实矩阵B的惯量是一个非负三元整数组i(B)=(r,s,t)，其中r、s、t分别表示矩阵B的实部为正、负、零的特征值个数(特征值的重数也计算在内)。设A是一个n阶符号模式矩阵，A的惯量i(A)是指由全体与A有相同符号模式的实矩阵的惯量构成的集合。若对于任意满足条件r+s+t=n的非负三元整数组(s,r,t)，都有(s,r,t)∈i(A)，则称A是惯量任意的。完全刻画了4、5、6阶惯量任意的可约符号模式矩阵。

惯量；惯量任意符号模式；可约符号模式

元素取自集合{+,-,0}的矩阵称为符号模式矩阵，简称符号模式。对于给定的实矩阵B=(bij)，由bij的符号signbij为元素组成的符号模式(signbij)称为B的符号模式，记为sgnB。用Qn表示全体n阶符号模式矩阵所组成的集合。对任意A∈Qn，所有与A有相同符号模式的实矩阵组成的集合{B|B为n阶实矩阵，且sgnB=A}称为由A所决定的定性矩阵类，记为Q(A)。

一个n阶符号模式P称为置换模式，如果它的每一行、每一列都恰好含有1个正元，其余元均为零；一个n阶符号模式S称为符号差模式，如果它是一个对角符号模式，且对角元全非零。

设A与B是两个n阶符号模式，若存在一个n阶置换模式P使得A=PTBP，则称A与B置换相似；若存在一个n阶符号差模式S使得A=SBS，则称A与B符号差相似。如果A可以由B经过转置、取负、置换相似、符号差相似得到，则称A与B是等价的。

一个n阶实矩阵B的惯量是指非负三元整数组i(B)=(r,s,t)，其中r、s、t分别表示矩阵B的实部为正、负、零的特征值个数(特征值的重数也计算在内)。一个n阶符号模式A的惯量是指非负三元整数组的集合i(A)={i(B)|B∈Q(A)}。

文献[1]最早提出了谱任意和惯量任意符号模式矩阵的问题。文献[2]给出了第1个惯量任意的n阶符号模式。文献[3]给出了第1个谱任意(从而也是惯量任意)的n阶符号模式。随后人们陆续找到一些谱任意(惯量任意的)符号模式[4-8]，但至今没有一个好的方法来刻画惯量任意符号模式。文献[9]提出一种刻画惯量任意性的新方法：惯量临界集的概念，并给出了2阶、3阶零-非零模式的极小惯量临界集，但刻画惯量任意符号模式仍然是一个困难问题，特别是对于可约符号模式的惯量任意性，目前仅有少量文献进行研究[10]。本文将对4、5、6阶可约惯量任意符号模式进行刻画。

1 预备知识

定义1 设A为n阶方阵，若存在一个n阶置换矩阵P，使得

其中A11和A22分别为k、l阶非空方阵，且满足k+l=n，则称A可约，否则称A不可约。

定义2 设X与Y均为整数集，则称集合{x+y:x∈X,y∈Y}为X与Y的和集，记为X+Y。

引理 1[10]设A、B为两个符号模式矩阵，则i(A⊕B)=i(A)+i(B)。

引理 2[9]设A为一个2阶不可约符号模式，则以下条件是等价的：

①A为谱任意的；

②A为惯量任意的；

③A蕴含惯量(0,0,2)和(2,0,0)或(0,0,2)和(0,2,0)；

引理3[9]设A为一个3阶不可约符号模式，则以下条件是等价的：

①A为谱任意的；

②A为惯量任意的；

③A蕴含惯量(0,0,3)和(3,0,0)，或(0,0,3)和(0,3,0)；

④A等价于如下4个符号模式之一或者它们的某一个母模式：

2 4阶可约惯量任意符号模式

定理1 设A是一个4阶可约符号模式，则A是惯量任意的，当且仅当A等价于如下模式：

其中B、C均为2阶惯量任意的不可约符号模式，即B、C均等价于引理2 ④中的符号模式T2。

充分性：

设B、C均为惯量任意的，则i(B)=i(C)={(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,2)},由引理1知：i(D)=i(B⊕C),i(B⊕C)=i(B)+i(C)={(4,0,0),(0,4,0),(3,1,0),(1,3,0),(2,2,0),(3,0,1),(0,3,1),(2,1,1),(1,2,1),(2,0,2),(1,1,2),(0,2,2),(1,0,3),(0,1,3),(0,0,4)},故D是惯量任意的，从而A是惯量任意的。充分性得证。

必要性：

设A是惯量任意的，则(4,0,0),(0,4,0),(0,0,4)∈i(A)。由引理.1知：i(A)=i(D)=i(B⊕C)=i(B)+i(C),且注意惯量(4,0,0)、(0,4,0)、(0,0,4)中每个只能由下列惯量之和取得：

故B、C均蕴含惯量(2,0,0)、(0,2,0)、(0,0,2),由引理2知：B,C均为惯量任意的，必要性得证。

定理1证明完毕。

推论1 设A为4阶可约惯量任意符号模式，则A至少含有8个非零元。

3 5阶可约惯量任意符号模式

定理2 设A是一个5阶可约符号模式，则A是惯量任意的，当且仅当A等价于如下模式：

其中B、C分别为2阶、3阶不可约惯量任意符号模式，即B等价于引理2 ④中的符号模式T2，C等价于引理3 ④中4个符号模式D3×3、D3×2、U、Vs之一或它们某一个的母模式。

充分性：

设B,C均为惯量任意的，则i(B)={(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,2)},i(C)={(3,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(1,2,0),(2,0,1),(1,0,2),(1,1,1),(0,1,2),(0,2,1),(0,0,3)}，由引理1知：

i(D)=i(B⊕C)=i(B)+i(C)={(5,0,0),(0,5,0),(4,1,0),(1,4,0),(3,2,0),(2,3,0),(4,0,1),(0,4,1),(3,1,1),(1,3,1),(2,2,1),(3,0,2),(0,3,2),(2,1,2),(1,2,2),(2,0,3),(0,2,3),(1,1,3),(1,0,4),(0,1,4),(0,0,5)}

故D是惯量任意的，从而A是惯量任意的。充分性得证。

必要性：

设A是惯量任意的，则(5,0,0)、(0,5,0)、(0,0,5)∈i(A)。由引理1知：i(A)=i(D)=i(B⊕C)=i(B)+i(C),且注意到惯量(5,0,0)、(0,5,0)、(0,0,5)中每个只能由下列惯量之和取得：

故B蕴含惯量(2,0,0)、(0,2,0)、(0,0,2)，C蕴含惯量(3,0,0)、(0,3,0)、(0,0,3)。由引理2及3知：B、C均为惯量任意的，必要性得证。

定理2证毕。

推论2 设A是一个5阶可约惯量任意符号模式，则A至少含有10个非零元。

4 6阶可约惯量任意符号模式

注意到对于一个6阶惯量任意的可约符号模式，它的不可约块可以为3个2阶、2个3阶或1个2阶和1个4阶，下面分情况进行讨论。

定理3 设A是一个6阶可约符号模式，其不可约块为3个2阶符号模式，则A是惯量任意的，当且仅当A等价于如下模式：

其中B、C、F均为2阶不可约惯量任意符号模式，即B、C、F均等价于引理2 ④中的符号模式T2。

充分性：

设B、C、F均为惯量任意的，则i(B)=i(C)=i(F)={(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,2)}。

由引理1知：i(D)=i(B⊕C⊕F)=i(B)+i(C)+i(F)={(6,0,0),(0,6,0),(5,1,0),(1,5,0),(4,2,0),(2,4,0),(3,3,0),(5,0,1),(0,5,1),(4,1,1),(1,4,1),(3,2,1),(2,3,1),(4,0,2),(0,4,2),(3,1,2),(1,3,2),(2,2,2),(3,0,3),(0,3,3),(2,1,3),(1,2,3),(2,0,4),(0,2,4),(1,1,4),(1,0,5),(0,1,5),(0,0,6)}。故D是惯量任意的，从而A是惯量任意的。充分性得证。

必要性：

设A是惯量任意的，则(6,0,0),(0,6,0),(0,0,6)∈i(A)。由引理1知：i(A)=i(D)=i(B⊕C⊕F)=i(B)+i(C)+i(F),且注意到惯量(6,0,0),(0,6,0),(0,0,6)中每个只能由下列惯量之和取得：

B、C、F蕴含惯量(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),因此根据引理2，它们都是惯量任意的，必要性得证。

定理3证明完毕。

定理4 设A是一个6阶可约符号模式，且其不可约块为2个3阶符号模式，则A是惯量任意的，当且仅当A等价于如下模式：

其中B、C均为3阶不可约惯量任意符号模式，即B、C均等价于引理3 ④中4个符号模式D3×3、D3×2、U、Vs之一或它们某一个的母模式。

充分性：

设B、C均为惯量任意的，则i(B)=i(C)={(3,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(1,2,0),(2,0,1),(0,2,1),(1,1,1),(1,0,2),(0,1,2),(0,0,3)}。

由引理1知i(D)=i(B⊕C)=i(B)+i(C)= {(6,0,0),(0,6,0),(5,1,0),(1,5,0),(4,2,0),(2,4,0),(3,3,0),(5,0,1),(0,5,1),(4,1,1),(1,4,1),(3,2,1),(2,3,1),(4,0,2),(0,4,2),(3,1,2),(1,3,2),(2,2,2),(3,0,3),(0,3,3),(2,1,3),(1,2,3),(2,0,4),(0,2,4),(1,1,4),(1,0,5),(0,1,5),(0,0,6)}。故D是惯量任意的，从而A是惯量任意的。充分性得证。

必要性：

设A是惯量任意的，则(6,0,0),(0,6,0),(0,0,6)∈i(A)。由引理1知i(A)=i(D)=i(B⊕C)=i(B)+i(C),且惯量(6,0,0)、(0,6,0)、(0,0,6)中每个只能由下列惯量之和取得：

故B、C蕴含惯量(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)，因此根据引理3，它们都是惯量任意的，必要性得证。

定理4证明完毕。

推论3 设A是一个6阶可约符号模式，若其不可约块为3个2阶符号模式或两个3阶符号模式，则A至少含有12个非零元。

现在讨论不可约块是一个2阶和一个4阶的6阶可约符号模式A的惯量任意性。此时，A等价于

其中B、M分别为2阶、4阶不可约符号模式。

注意到A蕴含的惯量(6,0,0),(0,6,0),(0,0,6)中每个只能由下列惯量之和取得：

故当A是惯量任意时，B蕴含惯量(2,0,0)、(0,2,0)、(0,0,2)，M蕴含惯量(4,0,0)、(0,4,0)、(0,0,4)。由引理2知：当A是惯量任意时，B一定是惯量任意的。例1表明：M可以是非惯量任意的。

例1[10]设

则B是惯量任意的，注意到(0,1,3)、(0,3,1)、(2,1,1)∉i(M)，但A=B⊕M是惯量任意符号模式。

下面定理将给出这样的6阶可约符号模式A为惯量任意的一个充分必要条件。

定理5 设A是一个6阶可约符号模式，其不可约块为1个2阶和1个4阶不可约符号模式，则A是惯量任意的当且仅当A等价于如下模式：

其中B是2阶不可约惯量任意符号模式(即等价于引理2 ④中的符号模式T2)，M满足以下条件：

①M蕴含惯量(4,0,0)、(0,4,0)、(0,0,4)；

②M至少蕴含惯量(3,1,0)、(1,3,0)、(2,2,0)中之一；

③M至少蕴含惯量(3,0,1)、(1,0,3)、(2,0,2)中之一；

④M至少蕴含惯量(0,3,1)、(0,2,2)、(0,1,3)中之一；

⑤M至少蕴含惯量(3,1,0)、(2,2,0)、(3,0,1)、(2,1,1)、(1,2,1)中之一；

⑥M至少蕴含惯量(1,3,0)、(2,2,0)、(0,3,1)、(2,1,1)、(1,2,1)中之一；

⑦M至少蕴含惯量(3,1,0)、(3,0,1)、(2,1,1)、(2,0,2),(1,1,2)中之一；

⑧M至少蕴含惯量(1,3,0)、(0,3,1)、(1,2,1)、(0,2,2),(1,1,2)中之一；

⑨M至少蕴含惯量(2,1,1)、(2,0,2)、(1,1,2)、(1,0,3),(0,1,3)中之一；

⑩M至少蕴含惯量(1,2,1)、(0,2,2)、(1,1,2)、(1,0,3),(0,1,3)中之一；

证明 设A等价于

其中B、M分别为2阶、4阶不可约符号模式。

充分性：

设B是惯量任意的，且M满足定理的11个条件，则i(B)={(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,2)}。所以，由条件①可得D蕴含如下所有惯量：

(6,0,0),(4,2,0),(5,1,0),(5,0,1),(4,1,1),(4,0,2),(2,4,0),(0,6,0),(1,5,0),(1,4,1),(0,5,1),(0,4,2),(2,0,4),(0,2,4),(1,1,4),(1,0,5),(0,1,5),(0,0,6)

(3,3,0),(3,0,3),(0,3,3),(3,2,1),(2,3,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,1,3),(1,2,3),(2,2,2)

所以，D是惯量任意的，从而A是惯量任意的。充分性得证。

必要性：

设A是惯量任意的，则：

i(A)=i(D)={(6,0,0),(4,2,0),(5,1,0),(5,0,1),(4,1,1),(4,0,2)，(2,4,0),(0,6,0),(1,5,0),(1,4,1),(0,5,1),(0,4,2),(2,0,4),(0,2,4),(1,1,4),(1,0,5),(0,1,5),(0,0,6),(3,3,0),(3,0,3),(0,3,3),(3,2,1),(2,3,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,1,3),(1,2,3),(2,2,2)}

注意到，惯量(6,0,0)、(0,6,0)、(0,0,6)中每个只能由下列惯量之和取得：

故M蕴含惯量(4,0,0)、(0,4,0)、(0,0,4)，条件①成立。又惯量(3,3,0)只能由下列3种惯量之和取得：

定理5证明完毕。

[1] DREW J H,JOHNSON C R,OLESKY D D.Spectrally arbitrary patterns[J].Linear Algebra and its Applications,2000,308(1/2/3):121-137.

[2] GAO Y,SHAO Y.Inertially arbitrary patterns[J].Linear and Multilinear Algebra,2001,49(2):161-168.

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[4] BRITZ T,MCDONALD J J,OLESKY D D,et al.Minimal spectrally arbitrary sign patterns[J].SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,2004,26(1):257-271.

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[7] KIM I J,MCDONALD J J,OLESKY D D,et al.Inertias of zero-nonzero patterns[J].Linear and Multilinear Algebra,2007,55(3):229-238.

[8] DREW J H,JOHNSON C R,OLESKY D D.Spectrally arbitrary patterns[J].Linear Algebra and its Applications,2000,308(1/2/3):121-137.

[9] KIM I J,OLESKY D D,VAN D D P.Critical sets of inertias for matrix patterns[J].Linear and Multilinear Algebra,2009,57(3):293-306.

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(责任编辑 陈 艳)

Characterization for Lower Order Reducible Inertially Arbitrary Sign Patterns

HAO Zhi-yuan, GAO Yu-bin

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The inertia of a real matrixBof ordernis the triple of nonnegative integersi(B)=(r,s,t) in whichr,s,tare the numbers of its eigenvalues (counting multiplicities) with positive, negative and zero real parts respectively. The inertia of ann×nsign pattern matrixAis the set of {i(A)|i(A)=i(B),sgnB=A}. Ann×nsign pattern matrixAis an inertially arbitrary pattern if (r,s,t)∈i(A) for every nonnegative triple (r,s,t) withr+s+t=n. This article characterizes the reducible inertially arbitrary sign patterns of orders 4, 5 and 6.

inertia; inertially arbitrary sign pattern; reducible sign pattern

2016-12-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目(11071227)；山西省回国人员科研资助项目(12-070)

郝志远(1990—)，男，硕士研究生，主要从事组合数学研究，E-mail:1065711678@qq.com；通讯作者 高玉斌(1962—)，男，博士，教授，博士生导师，主要从事组合数学研究，E-mail:ybgao@nuc.edu.cn。

郝志远，高玉斌.低阶可约惯量任意符号模式矩阵的刻画[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(5):186-191.

format：HAO Zhi-yuan, GAO Yu-bin.Characterization for Lower Order Reducible Inertially Arbitrary Sign Patterns[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):186-191.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.031

O157

A

1674-8425(2017)05-0186-06