浙江省嵊州市黄泽中学 (312400) 章钢良

三类特殊四次函数对称性的思考与探究
——从一道模拟考试题谈起

浙江省嵊州市黄泽中学 (312400)
章钢良

函数是高中数学学习的核心内容之一，其性质是研究函数问题的重要工具．对称性是函数的重要性质之一，也是对函数奇偶性“形化”处理的一般性研究，它在高考中占有重要的一席之地．一般的四次函数规律难寻，情形也较为复杂，所以模考试题中一旦涉及四次函数问题，其解析式常以特殊的形式出现，所以，研究特殊形式的四次函数的对称性非常之必要．另外，对函数对称性相关问题的纵向研究，其研究的方式、方法与思维的展开，必定有利于学生对函数其他性质的深度理解和学习．基于此，本文拟在一道具体四次函数试题的解法研究基础上，进一步探讨几类特殊四次函数的对称性，及其它们之间的关联情况，旨在与同行交流、研讨．

1.问题的提出与解读

题目 已知函数f(x)=(x2+x)(x2+ax+b)，若对∀x∈R，均有f(x)=f(2-x)，则f(x)的最小值为( ).

这道试题以一元四次函数为背景，考查函数图像对称性(代数形式理解)、导数的应用，同时渗透函数与方程、数形结合、等价转化、特殊与一般的数学思想，可有效检测考生逻辑推理能力、运算求解能力、数据处理能力等．“对∀x∈R，均有f(x)=f(2-x)”实则是告诉我们函数f(x)的图像关于直线x=1对称．在一般的模考试卷中，多项式函数的最高次数一般不超过三次，四次很少见，老师在课堂中也很少提及．就学生来说，必然缺少这方面……