甘肃省临泽一中 (734200) 张元国

空间直线与平面平行问题的二型四策

甘肃省临泽一中 (734200)
张元国

空间直线与平面的平行问题，是近年高考命题经久不衰的热点.如何巧妙迅捷的判定空间直线与平面平行，如何在平面内寻找一条直线，以静制动，探索该直线与平面平行，本文给出两种常见类型的四种推证策略.

1.判定空间直线与平面平行

1.1 作平行平面

图1

例1 三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，D,E,F分别为棱AC，AA1，CC1的中点.求证：B1F∥平面BDE.

分析:如图1，取A1C1中点D1，则B1D1∥BD.又D1F∥A1C，DE∥A1C,知D1F∥DE.从而平面B1D1F∥平面BDE，又B1F⊄平面BDE，故B1F∥平面BDE.

评注:判定直线与平面平行时，若能找到一个平行平面，则可利用面面平行迅捷推证线面平行.

图2

1.2 作三角形截面

例2 四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，E,F分别是AB,PD的中点.

求证：AF∥平面PEC.

分析:如图2，过五点A,F,P,E,C外的一点D，连DA,DF分别交平面PEC于点M与P，即延长DA，CE相交于点M.只需证AF∥PM.

评注:判定直线与平面平行，关键是在平面内找一直线与平面外的直线平行.若能在确定该平面的点与确定该直线的点外再找到一个点，并过该点作一个三角形截面，则可巧妙地找到与平面外的直线平行的平面内直线，然后利用线段成比例，就能巧证线面平行.

1.3 作平行四边形截面

例3 四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，E,F分别是AB,PD的中点.求证：AF∥平面PEC.

图3

由FM,知

AEFM.即四边形AFME为平行四边形.从而EM∥AF，又AF⊄平面PEC，故AF∥平面PEC.

评注:判定直线与平面平行时，若能经过平面外的直线上两点作一个与该平面都相交的平行线，就可巧妙地找到与平面外的直线平行的平面内的直线.然后通过推……