广东省珠海市实验中学高中部 (519090) 唐生万

一道预赛题的再探究

广东省珠海市实验中学高中部 (519090)
唐生万

上述问题1为2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题.本文在此将给出上述问题的一般化探究，同时对三角形的外心、重心、垂心等类似问题作进一步探究，希望对读者有所帮助.

ΔABC中,AB=c,BC=a,AC=b,我们不妨提出如下更一般性的问题：

事实上，对于问题2，我们有如下结论：

图1

大家知道，三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)常常作为各级各类考试的热点问题，类似于问题2，我们不禁提出如下问题：

对于上述问题，类似于结论2，我们也可得到如下结果：

证明：若O为ΔABC的重心，不难求得x∶y∶z=1∶1∶1.

若b2+c2≠a2,则由(*)式方程组解得

综上所述，若O为ΔABC的外心，则x∶y∶z=a2(b2+c2-a2)∶b2(c2+a2-b2)∶c2(a2+b2-c2).

故(**)式可转化为

不难验证此时x∶y∶z=[a4-(b2-c2)2]∶[b4-(c2-a2)2]∶[c4-(a2-b2)2].

综上所述，若O为ΔABC的垂心，则x∶y∶z=

[a4-(b2-c2)2]∶[b4-(c2-a2)2]∶[c4-(a2-b2)2].