魏祥勤

四边形部分常见中考试题有：多边形的边数、内角和与对角线的条数，平行四边形的判定与性质，特殊平行四边形的判定与性质，四边形位于平面直角坐标系中点的坐标问题，四边形与直角三角形、等腰三角形等的综合问题，与四边形有关的猜想、探究型问题等.下面结合中考试题进行分类解析，供同学们参考.

一、 多边形的边数与对角线的条数

例1 （2016·凉山）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为（ ）

A.7 B.7或8

C.8或9 D.7或8或9

分析：首先求得内角和为1 080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数.

解：设内角和为1 080°的多边形的边数是n，则（n-2）·180°=1 080°.

解得n=8.

所以原多边形的边数为7或8或9.故选D.

评注：当多边形的边数不小于4时，一个多边形去掉一个内角后，边数可以减少1，也可以不变，也可以增加1.

练习1 （2016·广安）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）

A.7 B.10

C.35 D.70

二、 平行四边形的判定与性质

例2 （2016·鄂州）如图1，在[?]ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.

（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；

（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长. [A][B][C][D][E][F][M][N][图1]

分析：（1）通过AE⊥BD，CF⊥BD证明AE∥CF，再由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形CMAN是平行四边形.

（2）先证明△MDE≌△NBF，得DE=BF=4，再由勾股定理，得BN=5.

（1）证明：∵AE⊥BD CF⊥BD，

∴AE∥CF.

又四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD.

∴四边形CMAN是平行四边形.

（2）解：由（1）知四边形CMAN是平行四边形，

∴CM=AN.

又四边形ABCD是平行四边形，

∴ AB=CD，AB∥CD.

∴∠MDE=∠NBF，AB-AN=CD-CM，即BN=DM.

又∠DEM=∠BFN=90°，

∴△MDE≌△NBF.

∴DE=BF=4.

在Rt△BNF中，由勾股定理，得BN=[FN2+BF2]=[32+42]=5.

∴BN的长为5.

评注：本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理.灵活运用判定、性质及定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键.

练习2 （2016·十堰）如图2，在[?]ABCD中，AB=[213]cm，AD=4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长 cm. [A][B][C][D][O][图2]

三 、特殊平行四边形的判定与性质

（一）菱形的判定与性质

例3 （2016·青岛）已知：如图3，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O. [A][B][C][D][E][F][G][H][O][图3]

（1）求证：△ABE≌△CDF.

（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由.

分析：（1）由平行四边形的性质，得AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可.

（2）由平行四边形的性质，得AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得四边形BEDF是平行四边形，得OB=OD，再由等腰三角形的三线合一的性质，得EF⊥BD，即可证得四边形BEDF是菱形.

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠BAE=∠DCF.

又AE=CF，

∴△ABE≌△CDF（SAS）.

（2）解：四邊形BEDF是菱形.

理由如下：

如图4，在?ABCD中，AD∥BC，AD=BC. [A][B][C][D][E][F][G][H][O][图4]

∵AE=CF，

∴DE=BF.

∴四边形BEDF是平行四边形.

∴OB=OD.

∵DG=BG，

∴EF⊥BD.

∴四边形BEDF是菱形.

评注：判定一个四边形是特殊的四边形，往往先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形的边、角、对角线等所具有的特殊关系，灵活运用四边形的边、角、对角线之间的关系，是解决这类问题的关键.

练习3 （2016·沈阳）如图5，△ABC≌

△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. [A][B][C][D][E][图5]

求证：（1）∠CEB=∠CBE；

（2）四边形BCED是菱形.

（二）矩形的判定与性质

例4 如图6，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.

（1）线段BD与CD有何数量关系，为什么？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由. [A][B][C][D][E][F][图6]

分析：（1）由题意，得△AEF≌△DEC，可以得到AF=CD.又因为AF∥CD，AF=BD，所以BD=CD.

（2）若四边形AFBD是矩形，则AD⊥BD.因为BD=CD，所以AB=AC.因此△ABC是等腰三角形时，四边形AFBD是矩形.

解：（1）BD=CD.

理由如下：

∵E是AD的中点，

∴AE=DE.

又AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE.

又∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC .

∴AF=CD.

∵AF=BD，

∴BD=CD.

（2）當△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形 .

理由如下：

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形AFBD是平行四边形.

∵AB=AC，BD=CD ，

∴AD⊥BC，即∠ADB=90°.

∴四边形AFBD是矩形.

评注：本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质.掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键.

练习4 如图7，在[?]ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F. [A][B][C][D][E][F][O][图7]

（1）求证：△AOE≌△COF.

（2）请连接EC，AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由.

（三）正方形的判定与性质

例5 （2016·攀枝花）如图8，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；

⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6[+42].其中正确的结论有（ ） [A][B][C][D][E][F][G][O][图8]

A.2个 B.3个

C.4 个 D.5个

分析：①由四边形ABCD是正方形，得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，求得∠ADG的度数.

②由AE=EF2AE.

③由△ADG≌△FDG，得S△AGD=S△FDG.由S△FDG>S△OGD，得S△AGD>S△OGD.

④由折叠的性质与平行线的性质，易得

△EFG是等腰三角形，证得AE=GF.

⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，得BE=2OG.

⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF.再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得△OGF是等腰直角三角形.由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论.

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°.

由折叠的性质，得∠ADG=[12]∠ADO=22.5°.故①正确.

∵由折叠的性质，得AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF

∴AE<[12]AB.

∵AB=AD，

∴[ADAE]>2.故②错误.

∵△ADG≌△FDG，

∴S△AGD=S△FDG.

∵S△FDG>S△OGD，

∴S△AGD>S△OGD.故③错误.

∵∠EFD=∠AOD=90°，

∴EF∥AC.

∴∠FEG=∠AGE.

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE.

∴EF=GF.

∵AE=EF，

∴AE=EF=GF.

∵AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG.

∴四边形AEFG是菱形.故④正确.

∵四边形AEFG是菱形，

∴AE∥GF.

∴∠OGF=∠OAB=45°.

∴EF=GF=[2]OG.

∴BE[=2EF][=2×2]OG=2OG.故⑤正确.

∵四边形AEFG是菱形，

∴AB∥GF，AE=GF.

∵∠FGO=∠BAO=45°，∠GOF=90°，

∴△OGF是等腰直角三角形.

∵S△OGF=1，

∴[12]OG2=1.

解得OG=[2].

∴BE=2OG=[22]，GF=[（2）2+（2）2]=2. ∴AE=GF=2.

∴AB=BE+AE=[22]+2.

∴S正方形ABCD=AB2=（[22]+2）2=[12+82].故⑥错误.

∴正确结论的序号是①④⑤.故选B.

评注：本题涉及正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系和数形结合思想的应用.

练习5 （2016·宿迁）如图9，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为（ ） [A][B][C][D][E][F][图9] [M][N] A.2 B.[3]

C.[2] D.1

四、 四边形的新定义问题及综合问题

（一）四边形的新定义问题

例6 （2016·衢州）如图10，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图11，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系.猜想结论： （要求用文字语言叙述）.写出证明過程（先画出图形，写出已知、求证）. [A][B][C][D][图10 图11]

（3）问题解决：如图12，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长. [A][B][C][D][E][F][G][图12][M][N]

分析：（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可.

（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可.

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算.

解：（1）四边形ABCD是垂美四边形.

理由如下：

如图13，连接AC，BD.

∵AB=AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上.

∵CB=CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上.

∴直线AC是线段BD的垂直平分线.

∴AC⊥BD.

∴四边形ABCD是垂美四边形.

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.

已知：如图13，在垂美四边形ABCD中，AC⊥BD于E.

求证：AD2+BC 2=AB2+CD2. [A][B][C][D] [图13][E]

证明：∵四边形ABCD是垂美四边形，

∴AC⊥BD.

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°.

由勾股定理，得AD2+BC 2=AE 2+DE 2+BE 2+CE 2，AB2+CD2=AE 2+BE 2+CE 2+DE 2.

∴AD 2+BC 2=AB2+CD 2.

（3）如图14，连接CG，BE. [A][B][C][D][E][F][G][M][N][图14] ∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE.

又∵AG=AC，AB=AE.

∴△GAB≌△CAE.

∴∠ABG=∠AEC.

又∠AEC+∠AME=90°，∠BMN=∠AME，

∴∠ABG+∠AME=∠ABG+∠BMN=90°.

∴∠BNM=90°，即CE⊥BG.

∴四边形CGEB是垂美四边形.

由（2）知CG2+BE2=CB2+GE2.

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=[42]，BE=[52].

∴GE2=CG2+BE2-CB2=73.

∴GE=[73].

评注：对于新定义问题，应当结合题目中给定的概念信息，结合题意运用数形结合的思想，从图形的位置以及题目中的数量关系进行探究.

练习6 （2016·德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

（1）如图15，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点.

求证：中点四边形EFGH是平行四边形. [A][B][C][D][E][F][G][H][图15]

（2）如图16，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.[图16] [A][B][C][D][E][F][G][H] [P]

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）.

（二）四边形的综合问题

例7 （2016·临沂）如图17，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC.

（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 . [A][B][C][D][E][F][G][图17 图18] [A][B][C][D][E][F][G]

（2）如图18，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明.

（3）如图19，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断. [A][B][C][D][E][F][G][图19]

分析：（1）只要证明四边形CEGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE.

（2）如图20，构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等证得四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=CE，FG∥CE.

（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形.

解：（1）FG=CE，FG∥CE.

（2）如图20，过点G作GH⊥CB交CB的延长线于H. [A][B][C][D][E][F][G] [H][图20]

∵EG⊥DE，

∴∠GEH+∠DEC=90°.

∵∠GEH+∠HGE=90°，

∴∠DEC=∠HGE.

∵∠GHE=∠DCE=90°，EG=DE，

∴△HGE≌△CED.

∴GH=CE，HE=CD.

∵CE=BF，

∴GH=BF.

∵GH⊥CB，BF⊥CB，

∴GH∥BF.

∴四边形GHBF是矩形.

∴GF=BH，FG∥CH.

∴FG∥CE.

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC.

∴HE=BC.

∴HE+EB=BC+EB.

∴BH=EC.

∴FG=EC.

（3）（1）中的结论仍然成立.

评注：本题是三角形与四边形的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质.解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换.

练习7 （2016·台州）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.

（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围.

（2）如图21，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH.求证：四边形ABCD是三等角四边形. [A][B][C][D][E][F][G][H][图21]

（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长.