张德柱

近几年的中考试题中，与三角形有关的试题除沿袭传统的题型外，还加大了探索、创新的力度，特别是增加了与三角形有关的动态问题、三角形全等与相似的综合等.在解决与三角形有关的问题时，除了能灵活运用所学的知识外，还要注意与其他知识的联系和数学思想方法的运用.下面结合近几年中考试题举例说明与三角形有关的常见题型与解法探讨.

一、相似三角形的判定和性质

例1 如图1，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ） [A][B][C][D][E][F][图1]

A.2 B.3

C.4 D.5

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DF=[12]AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线的定义，得∠CBF=∠BFD，所以DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE-DF解得答案.

解：∵AF⊥BF，

∴∠AFB=90°.

∵AB=10，D为AB的中点，

∴DF=[12]AB=AD=BD=5.

∴∠ABF=∠BFD.

又BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF.

∴∠CBF=∠BFD.

∴DE∥BC.

∴△ADE∽△ABC.

∴[DEBC]=[ADAB]，即[DE16]=[510].

解得DE=8.

∴EF=DE-DF=3.故选B.

评注：本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质.

二、利用相似三角形的判定和性质求三角形的面积比

例2 如图2，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE=1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为（ ） [A][B][C][D][E][O][图2]

A.1∶3 B.1∶4

C.1∶9 D.1∶16

分析：由S△BDE∶S△CDE=1∶3，可得BE∶EC=1∶3，所以BE∶BC=1∶4.易证△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA，所以DE∶AC=BE∶BC=1∶4，S△DOE∶S△AOC=DE2∶AC2=1∶16.

解：∵S△BDE∶S△CDE=1∶3，

∴BE∶EC=1∶3.

∴BE∶BC=1∶4.

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA.

∴DE∶AC=BE∶BC=1∶4.

∴S△DOE∶S△AOC=DE2∶AC2=1∶16.故选D.

评注：三角形面积比的处理方法：（1）利用三角形的面积公式.（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.

三、利用三角形的中位线及相似三角形的性质求周长

例3 如图3，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，……，则△A5B5C5的周長为 . [A][1][B][1][C][1][A][2][B][2][C][2][A][3][B][3][C][3][图3]

分析：利用相似三角形的周长比等于相似比，再根据中位线围成的三角形与原三角形相似，且相似比等于[12]，得出所求结果.

解：∵A2，B2，C2是△A1B1C1的三边中点，

∴[A2B2A1B1=B2C2B1C1=A2C2A1C1=12].

∴△A1B1C1∽△A2B2C2.

∴[△A2B2C2的周长△A1B1C1的周长=12]，即△A2B2C2的周长=[12]△A1B1C1的周长.

同理△A3B3C3的周长[=12]△A2B2C2的周长=[（12）2]△A1B1C1的周长.

以此类推，得△A5B5C5的周长=[（12）4]△A1B1C1的周长=[（12）4×（7+4+5）=1].

评注：本题考查了三角形的中位线及相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比.先找出图形变化的规律，得出其表达式，再代入求值.如果图形相对简单，也可以把每种情况的结果直接计算出来.

四、利用面积法及相似三角形的判定和性质探索图形变化的规律

例4 如图4，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；……；则Sn= （用含n的式子表示）. [A][B][C][B][1][B][2][B][4][C][1][C][2][C][3][C][4][S][1][S][2][S][3][S4][图4] [B3] 分析：根据题意得到图中的相似三角形，求出其相似比，然后求出S1，S2，S3的值，归纳出一般性的结论.

解：由题意，得∠AB1B=∠AB2B1=90°，∠BAB1=∠B1AB2，

∴△A B1B2∽△A BB1.

∴[S1S△ABB1=（AB1AB）2=（32）2=34]，即[S1=34S△ABB1].

由题意，得AB=2，BB1=1，故AB1 =[3].

∴[S△ABB1=12×1×3=32].

∴[S1=34×32].

同理可得[S2=34S1=（34）2×32].[S3=34S2=][（34）3×32].故[Sn=32×（34）n] .

评注：解决这类问题，首先要从已知图形入手，观察图形、数字、式子随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上的变化情况或图形变化情况，找出变化规律，从而推出一般性结论，探索图形面积变化规律时，一般需要抓住图形面积的增减变化特点，进行分析、猜想、归纳、验证得出结果.

五、运用相似三角形的判定和性质及锐角三角函数的知识求线段的长

例5 如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.

（1）求BD· cos∠HBD；

（2）若∠CBD=∠A，求AB的长. [A][B][C][D][H][图5]

分析：（1）由题设易证△ABC∽△DHC，由相似三角形的性质可得CH的长，再求出BH的长，用三角函数的知识解决问题.

（2）先证△ABC∽△BHD，可得[BCHD=ABBH]，又△ABC∽△DHC，可得AB=3DH，代入即可求解.

解：（1）∵DH∥AB，

∴∠BHD=∠ABC=90°.

又∠DCH=∠ACB，

∴△ABC∽△DHC.

∴[ACDC=BCHC].

∵AC=3CD，BC=3，

∴CH=1.

∴BH=BC+CH=4.

在Rt△BHD中，cos∠HBD=[BHBD]，

∴BD· cos∠HBD=BH=4.

（2）∵∠A=∠CBD，∠ABC=∠BHD，

∴△ABC∽△BHD.

∴[BCHD=ABBH].

∵△ABC∽△DHC，

∴[ABDH=ACDC=31].

∴AB=3DH.

∴[3DH=3DH4].

∴DH=2.

∴AB=6.

评注：这类问题在中考中属必考的大题，有关三角形问题，利用全等或相似，而在本题中无明显相等的边，题设中有线段平行、角相等，这类问题大都先判定三角形相似.当结论中出现三角函数时，通过直角三角形中的边角关系使问题得到解决.

六、相似三角形的判定、性质与三角形的面积、一元二次方程的综合

例6 如图6，在△ABC中，点E，P在边AB上，且AE=BP，过点E，P分别作BC的平行线，交AC于点F，Q.记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3. [A][B][C][P][Q][E][F][图6]

（1） 求证：EF+PQ=BC；

（2） 若S1+S3=S2，求[PEAE]的值；

（3） 若S3-S1=S2，直接写出[PEAE]的值.

分析：（1）由相似三角形的判定和性质，得[EFBC=AEAB]，[PQBC=APAB]，再把两比例式分别相加即可.

（2）如图7，过点A作AH⊥BC于H，分别交EF，PQ于M，N ，设EF=a，PQ=b，AM=h，则BC=a+b.由相似三角形的性质，得[AMAN=EFPQ]，從而得到AN=[bha]，MN=（[ba]-1）h，再根据条件中所给面积关系式列方程求出b与a的关系式，最后由△AEF∽△APQ得AP与AE的数量关系，从而求得[PEAE]的值.

（3）由（2）知AN=[bha]，MN=（[ba]-1）h，S1=[12]ah，S2=[12]（a+b）（[ba]-1）h，S3=[12]（b+a+b）h.根据条件所给面积关系式S3-S1=S2，得[12]（b+a+b）h?[12]ah=[12]（a+b）（[ba]-1）h，整理，得a2+2ab-b2=0.解得a=（[2]-1）b，a=（-[2]-1）b（舍去）.

由EF∥PQ，得△AEF∽APQ .所以[AEAP=EFPQ=ab=2-1].所以AP= （1+[2]） AE，PE=[2]AE.因此[PEAE=][2] .

解：（1）证明：∵EF∥BC，

∴△AEF∽ABC.

∴[EFBC=AEAB].

同理[PQBC=APAB].

∴[EF+PQBC=AE+APAB].

∵AE=BP，

∴[EF+PQBC=BP+APAB=1].

∴EF+PQ=BC.

（2）如图7，过点A作AH⊥BC于H，分别交EF，PQ于M，N. [A][B][C][P][Q][E][F][图7] [M][N][H]

设EF=a，PQ=b，AM=h，则BC=a+b.

∵△AEF∽△ABC，

∴[AMAN=EFPQ].

∴AN=[bha]，MN=（[ba]-1）h.

∴S1=[12]ah，S2=[12]（a+b）（[ba]-1）h，S3=[12]（b+a+b）h.

∵S1+S3=S2，

∴[12]ah+[12]（b+a+b）h=[12]（a+b）（[ba]-1）h.

∴b=3a.

∵EF∥PQ，

∴△AEF∽APQ.

∴[EFPQ=AEAP]=[13].

∴AP=3AE.

∴[PEAE=2].

（3）[PEAE=][2] .

评注：已知三角形的面积关系求线段的比，作高是常见的添加辅助线的方法， 借助“相似三角形对应高的比等于相似比”得到所求线段的比，利用面积关系式列方程是数形结合思想、转化思想的重要体现.

七、与三角形相关的折叠问题

例7 如图8，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5，折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为 . [A][B][C][E][·][图8]

分析：如图9，D为BC的中点，EF为折痕，连接AD，则AD⊥BC.由折叠的性质，得EF是AD的垂直平分线，得出EF是△ABC的中位线，即可求出AE的长.

解：如图9，D为BC的中点，EF为折痕，连接AD，DE，DF. [A][B][C][E][·][图9] [D][F]

由折叠的性质，得EF是AD的垂直平分线.

∴AD⊥EF.

∴ EF ∥BC.

∴△AFE∽△ABC，相似比是1∶2.

∴[AEAC=12].

∵AC=5，

∴AE=[52].

评注：与折叠有关的计算题，通常利用轴对称的性质，把各种数量关系转化到一个三角形中求解.

八、利用相似、旋转的性质与数形结合思想、分类讨论思想解决问题

例8 如图10，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现

①当α=0°时，[AEBD]= ；②当α=180°时，[AEBD]= .

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α<360°时，[AEBD]的大小有无变化？请仅就图11的情况给出证明. [A][B][C][D][E] [A][B][C][D][E][图10 图11]

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长.

分析：（1）可以转化成CE与CD的比值解决问题.

（2）根据条件由两角相等或两边对应成比例且夹角相等判定△CEA∽△CDB，将[AEBD]转化成[ACBC=52].

（3）画出A，D，E三点共线时的所有情况，求出BD的长度.

①如图12，当△EDC在BC的上方且A，D，E三点共线时，四边形ABCD是矩形，BD=AC=[45]. [F][A][B][C][D][E][A][B][C][D][E][图12 图13]

②如图13，当△EDC在BC的下方且A，D，E三点共线时，△ADC是直角三角形，由DE=[12]AB=2，AD=8，

∴AE=6.

∵[AEBD=52]，

∴[BD=1255].

解：（1）①[52]；②[52].

【解析】①当α=0°时，如图10，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，

∴DE为Rt△ABC的中位线.

∴AB=BD=CD=4.

∴DE=2.

∴AC=[45].

∴AE=CE=[25].

∴[AEBD=52].

②当α=180°时，如图14，由①，得AE=[65]，BD=12，

∴[AEBD=52]. [A][B][C][D][E][图14]

（2）当0°≤α<360°时，[AEBD]的大小无变化.

理由如下：

如图10，∵D，E分别是边BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线.

∴DE∥AB.

∴[CECA=CDCB].

如图11，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，

∴[CECA=CDCB]仍然成立.

∴[CECD=CACB].

又∠ACE=∠BCD=α，

∴△CEA∽△CDB.

∴[AEBD]=[ACBC].

在Rt△ABC中，AC=[AB2+BC2=][42+82]=[45]，

∴[ACBC=458=52].

∴[AEBD=52].

∴[AEBD]的大小不變.

（3） [45或1255.]

评注：探索性问题关键是对题型中的变量进行分析，把握原有图形的特点，探究变化量的特点，借用类比思想逐步解题.这类题目往往是数形结合思想、类比思想和方程思想的综合运用，要将各种情形逐一分析，避免出错.